Teoría cinética de los gases

Teoría cinética de los gases
Física II

Contenido
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Modelo molecular del gas ideal
Interpretación molecular de la temperatura
Calor específico de un gas ideal
Procesos adiabáticos para un gas ideal
Equipartición de la energía
Ley de distribución de Boltzmann

Modelo molecular del gas ideal
Al desarrollar este modelo, haremos las siguientes suposiciones:
•El númerode moléculas es grande, así como la separación
promedio entre ellas comparada con sus dimensiones.
•Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton,
pero como un todo se mueven aleatoriamente.
•Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y
con las paredes del recipiente que en promedio son elásticas.
•Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto duranteuna colisión.
•El gas bajo consideración es una sustancia pura.

Una caja cúbica con lados
de longitud d que contiene
un gas ideal.

Dpx = - mvx - (mvx) = - 2 mvx
F1Dt = Dp = 2 mvx

Una molécula choca
elásticamente con la pared del
recipiente.

2
2mvx 2mvx mvx
F1 =
=
=
Dt
2d v x
d

El cambio de momento debido a una molécula es:
Dpx = - mvx - (mvx) = - 2 mvx
La fuerzaque se ejerce en la pared es:
F1Dt = Dp = 2 mvx
Se puede escribir como:
2
2mvx 2mvx mvx
F1 =
=
=
Dt
2d v x
d

Para todas las moléculas del gas:

(

)

m 2
2
F=
v x1 + v x 2 + L
d

El valor promedio de la velocidad en la dirección x es para N
moléculas es:
2
2
2
v x1 + v x 2 + L + v xN
2
vx =
N

Así pues, la fuerza total sobre la pared puede escribirse

Nm 2
F=vx
d
El teorema de Pitágoras relaciona el cuadrado de la velocidad
con el cuadrado de sus componentes:
2
v 2 = v x + v 2 + v z2
y

En consecuencia, el valor promedio de v2 es:
2
2
2
v 2 = vx + vy + vz

En virtud de que el movimiento es completamente aleatorio,
los valores promedio de las componentes de velocidad son
iguales entre sí. Entonces, encontramos que:
2
v 2 = 3v xAsí, la fuerza sobre la pared es:
N æ mv 2 ö
÷
F= ç
ç d ÷
3è
ø
Esta expresión nos permite encontrar la presión total sobre la
pared:
F
F
æN
ö
æNö
P = = 2 = 1 ç 3 m v 2 ÷ = 1 ç ÷ mv 2
3
3
A d
d
è
ø
èV ø
æNö
P = 2 ç ÷ 1 mv 2
3
Vø2
è

(

)

Este resultado muestra que la presión es proporcional al
número de moléculas por unidad de volumen y a la energía
cinéticatraslacional promedio de la molécula, 1 mv 2
2

Interpretación molecular de la
temperatura
Es posible comprender más profundamente el significado de la
temperatura si escribimos la ecuación anterior la escribimos
como:
PV = 3 N 1 mv 2
2
2

(

)

Comparándola con la ecuación de estado de un gas ideal:
PV = NkBT
De aquí encontramos que

2
T=
3k B

(

1
2

mv 2

)Podemos despejar la energía cinética molecular como:

1
2

Puesto que

m v 2 = 3 k BT
2

2
v x = 1 v 2 , se concluye que
3

1
2

2
mv x = 1 k BT
2

El siguiente teorema, llamado el teorema de la equipartición
de la energía, establece que:
La energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por
igual entre todos los grados de libertad.

La energía cinética traslacional deN moléculas es simplemente N
veces la energía promedio por molécula, entonces:

(

)

E = N 1 mv 2 = 3 Nk BT = 3 nRT
2
2
2

La raíz cuadrada de v 2 se conoce como velocidad
cuadrática media de las moléculas (rms, por sus siglas en
inglés). Para la velocidad rms tenemos:
v rms

3k BT
3RT
= v =
=
m
M
2

Algunas velocidades rms

Gas
H2

Masa molecular
(g/mol)
2.02vrms a 20ºC
(m/s)
1,902

He

4.0

1,352

H2O

18

637

Ne

20.1

603

N2 o CO

28

511

NO

30

494

CO2

44

408

SO2

64

338

Ejemplo
Un tanque usado para inflar globos de helio tiene un volumen de
0.3 m3 y contiene 2 moles de helio a 20ºC. Suponga que el helio
se comporta como un gas ideal a) ¿Cuál es la energía cinética
traslacional total...