_Teoría_de_Born-Infeld_supersimétrica_en_espacio_no_conmutativo

Cap´
ıtulo 11
Teor´ de Born-Infeld supersim´trica
ıa
e
en espacio no conmutativo
Presentamos una versi´n supersim´trica de la teor´ de Born-Infeld en espacio-tiempo
o
e
ıa
no conmutativo, para grupo de gauge abeliano y no abeliano. Mostramos, usando el
formalismo de supercampos, que la definici´n del orden sim´trico con respecto al proo
e
ducto estrella del que hablamos en el cap´ıtulo anterior lleva naturalmente a una acci´n
o
de Born-Infeld supersimetrizable en ambos casos, el U (1) y el U (N ). Analizamos las
ecuaciones de Bogomol’nyi en este contexto y discutimos las propiedades de la teor´
ıa
resultante.

11.1.

Supercampos en espacio no conmutativo

Los supercampos se definen como las serie de potencias formales generadas por los objetos
¯
o
(x, θ, θ) dondelas xµ son variables conmutantes, que se transforman en la representaci´n vecα ¯
torial frente al grupo de Lorentz y θ , θα son variables anticonmutantes o de Grassman, que
˙
se transforman en la representaci´n espinorial. Estos supercampos forman naturalmente un
o
´lgebra asociativa, que se puede identificar con el algebra de funciones sobre el superespacio
a
´
¯
de coordenadas (x, θ,θ).
Como se discute en [111], cuando se construyen deformaciones del algebra de super´
campos, existen dos par´metros libres que caracterizan la deformaci´n, un par´metro θµν
a
o
a
µ
relacionado con el conmutador de las coordenadas vectoriales x en la forma (2.4), y un
¯˙
nuevo par´metro asociado al anticonmutador de las coordenadas de Grassman θα , θα .
a
Nuestro inter´s en lossupercampos se relaciona con la construcci´n de acciones supere
o
sim´tricas para teor´ de campos no conmutativas, para lo cual es suficiente considerar
e
ıas
las deformaciones que afectan solamente al conmutador de las coordenadas xµ de acuerdo
¯˙
a (2.4), sin modificar la regla de anticonmutaci´n de las coordenadas de Grassman θα , θα
o
[112],[113].
115

Por lo tanto, definiremos el productoestrella entre supercampos U1 , U2 de acuerdo a
i
¯
¯
¯
(U1 ∗ U2 )(x, θ, θ) = e 2 θµν ∂ξµ ∂ζ ν U1 (x + ξ, θ, θ)U2 (x + ζ, θ, θ)

ζ=ξ=0

,

(11.1)

N´tese que las derivadas en el producto estrella involucran solo coordenadas de espacio
o
tiempo, sin afectar a las coordenadas de Grassman del superespacio, que siguen siendo anticonmutantes cuando el conmutador se calcula con este nuevoproducto.
¯˙
e
Por lo tanto, la expansi´n de los supercampos en serie de potencias de θα , θα es id´ntica al
o
†
caso conmutativo. Por ejemplo, un campo vectorial real V = V en el gauge de Wess-Zumino
se escribe como
1
¯˙
¯˙ ¯ ˙
¯˙ ¯ ˙
¯˙ ¯ ˙
¯
V (x, θ, θ) = −θα σ µ β θβ Aµ + iθα θα θβ λβ − iθβ θβ θα λα + θα θα θβ θβ D ,
α˙
2

(11.2)

donde D es el campo auxiliar
µ
Esconveniente definir las variables quirales y µ y y † en la forma
µ

˙

˙

¯
y † = xµ − iθα σ µ β θβ ,
α˙

¯
y µ = xµ + iθα σ µ β θβ ,
α˙

(11.3)

¯
de manera que se puedan definir las derivadas Dα and Dα como
Dα =

∂
¯
+ 2i σ µ θ
∂θα

α

∂
,
∂y µ

∂
∂
¯˙
Dα = − ¯α − 2i (θσ µ )α †µ .
˙
˙
∂y
∂θ

(11.4)

¯˙
Con la ayuda de estas variables quirales, un campo quiralizquierdo Dα Λ = 0 se escribe
√
Λ(y, θ) = A + 2θα χα + θα θα G ,
(11.5)
donde A y G son campos escalares complejos y χ es un espinor de Weil
Escribiremos las transformaciones de gauge generalizadas actuando sobre supercampos
en la forma
(11.6)
e2iΛ = 1 + 2iΛ − 2Λ ∗ Λ + · · · ,
∗
¯
ıtico conjugado
donde Λ = Λ(y, θ) es un supercampo quiral izquierdo y Λ† (y † , θ) su herm´
†
o
u
derechoDα Λ = 0. Bajo tal transformaci´n el supercampo V se transforma seg´n
†

e2V → e−2iΛ ∗ e2V ∗ e2iΛ .
∗
∗
∗
∗

(11.7)

A partir de V se construye el supercampo quiral de curvatura,
1¯ ¯˙
W α (y, θ) = − Dα Dα e−2V ∗ Dα e2V .
˙
∗
∗
8

(11.8)

En contraste con (11.7), bajo una transformaci´n de gauge Wα se transforma covarianteo
mente,
(11.9)
W α → e−2iΛ ∗ W α ∗ e2iΛ .
∗...