Teoría de conjuntos

TEMA 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
1.1 INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE CONJUNTOS
Desde que el matemático Cantor puso las bases de la teoría de conjuntos ésta ha adquirido tanta importancia que muchos otros matemáticos han orientado sus esfuerzos a construir todas las matemáticas tomando como base dicha teoría. La teoría de conjuntos se aplica en todas las ramas del conocimiento, tanto científico-técnicocomo humanístico y social. Con ella están también muy relacionados los conceptos de relación binaria, operaciones binarias y estructuras algebraicas, que también trataremos aquí aunque de manera superficial.
DEFINICIONES
¿Qué es un conjunto? Bueno, por decirlo de una manera simple es una colección. Primero eliges una propiedad común a unas "cosas" (esto lo definiremos luego) y después reúneslas "cosas" que tienen esa propiedad. Hay una notación para conjuntos bastante simple. Ejemplos son: Ropa que vestir o tipos de dedos.
{calcetines,zapatos, relojes, faldas, ...}
{pulgar, índice, medio, corazón, meñique}
Fíjate que uno tiene "...". Esto sólo quiere decir que el conjunto sigue indefinidamente. A lo mejor no hay infinitas cosas distintas que ponerse. El primer conjunto es unconjunto infinito, el segundo es un conjunto finito.
1.2 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Conjunto Finito
Es aquel conjunto en el que es posible contar o enumerar todos sus elementos. Por ejemplo; días de la semana o meses del año.
En caso contrario, es decir, que el conjunto no se puede enlistar uno a uno sus elementos se le llama conjunto finito. Ejemplo Números
Pertenencia
Significa que unelemento pertenece a un conjunto dado que el símbolo para representarlo es “E” el cual se lee como “es un elemento de” o “pertenece a”. En caso contrario, es decir, que el elemento no pertenezca al conjunto se representa como E.
Conjuntos de números
¿Qué tiene esto que ver con matemáticas? Cuando definimos un conjunto, todo lo que hace falta es una propiedad común. ¿Quién dice que no se puede hacer lomismo con números?
Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección, grupo o reunión de objetos que se caracterizan en algo común sin importar elorden en que estén escritos. Ejemplo; {a, b, c} = {b, a, c}
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos pertenecientes a los conjuntos se les llama elementos o miembros del conjunto. Ejemplo; Estaciones del año (primavera, verano, otoño e invierno) o días de la semana (lunes, martes, miércoles, jueves o viernes).
La noción simple de una colección oconjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
O bien como una colección biendefinida de objetos de cualquier clase.
Cuando hablamos de conjuntos, es normal usar letras mayúsculas para llamar al conjunto, y letras minúsculas para los elementos de ese conjunto.

Así que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento de A. Lo mismo con B y b, y con C y c.
Igualdad
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos miembros. Quizás no parezcan iguales a primeravista, ¡tienes que mirarlos bien!
Ejemplos: Son A y B iguales si:
A es el conjunto de los cuatro primeros enteros positivos
B = {4, 2, 1, 3}
Vamos a verlo. Los dos contienen 1. Y 2. Y 3, y 4. Y ya hemos comprobado los elementos de los dos conjuntos, así que: ¡Sí, son iguales!
Y el signo igual (=) se usa precisamente para indicar igualdades, así que escribimos: A = B
Subconjuntos
Cuando...