Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos


Definición
El concepto de conjunto está referido a reunir o agrupar personas, animales, plantas o cosas, para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar con dichos grupos.
La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos.
Ejemplo:
- el conjunto de libros deuna biblioteca,
- el conjunto de árboles en un terreno,
- el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, etc.

1, Determinación de un conjunto
Hay dos formas de determinar un conjunto por Extensión y por Comprensión

I. Por Extensión
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo:
A) El conjunto de los números pares mayores que7 y menores que 18

A=  {8, 10, 12, 14}

B) El conjunto de los números impares mayores que 3 y menores que 20

B=  {5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

II. Por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:
C) El conjunto de las vocales

C=  {x/x es una vocal}

D) El conjunto de los días de la semana

D= {x/x= día de la semana}



2. Clases de conjuntos
Conjuntos disjuntos, conjunto subconjunto,
2.1) Conjuntos disjuntos:
Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.


Ejemplo 1:              
El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otraspalabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.
En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.
 Ejemplo 2:
Si  E = {pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)
     F =  {tiza, profesor, regla}   (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)
G = {niño, cuaderno, sala, lápiz}(Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)
E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.  
E y F no son disjuntos ya que  tiza pertenece a  E y también a  F.
F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.


2.2) Conjunto Subconjunto: 
Un conjunto es subconjuntode otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Ejemplo 1:
Si se tienen los siguientes conjuntos:
P = {a, e, i, o, u}   y   R = {a, i } 
R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.
En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo  . En este ejemplo se escribe:
R   P
Se lee “R essubconjunto de P”
no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es .

Ejemplo 2:
Si se tienen los siguientes conjuntos:
H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:
H   C
Se lee “H no es subconjunto de C”
Ejemplo 3:
También los subconjuntospueden representarse mediante Diagramas de Venn.
C =  {3, 5, 7, 9 }     y   H =  { 3, 5, 8  }
                                 S      C

Conjuntos especiales
Conjunto vacío, conjunto unitario, conjunto finito, conjunto infinito, conjuntos equivalentes.

1) Conjunto vacío:
Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: Φo { }.

A= Φ o A= { }

Ejemplo:
E= {números mayores que 9 y menores que 5}

E= { }

2) Conjunto unitario:
Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo:
F= {x/2x +6=0} F = {3}

3) Conjunto finito:
Es el conjunto con limitado número de elementos.

Ejemplo:
G= {x/x es un número positivo impar menor que 10}

G= {1, 3, 5, 7, 9}

5) Conjunto universal:
Es el...