Teoría De Conjuntos

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TABASCO

2010
TEORÍA DE CONJUNTOS
OPERACIONES CON CONJUNTOS
M.C. CANDELARIO MÉNDEZ OLÁN

INTRODUCCIÓN
El pionero de la teoría de conjuntos fue Georg Cantor (1846-1918). El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Pero aún más, la teoría de conjuntos es la base de las ciencias de la computación ya que sirve de fundamento delálgebra boleana, de los lenguajes, de los autómatas, de las relaciones, de las bases de datos, de los grafos, de las redes y de los árboles, entre otros temas.
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Definición 1. Un conjunto es una colección de objetos con características bien definidas.
Ejemplo 1. Considere el enunciado “La colección de pizarrones azules”. Este enunciado se puede tomar como conjunto ya que está biendefinido puesto que el color azul es universal para todos y es fácil determinar si un pizarrón pertenece o no al conjunto.
Ejemplo 2: Considere el enunciado “El grupo de alemanes entre 20 y 30 años”. Este enunciado se puede tomar como un conjunto ya que es sencillo ubicar a una persona en el conjunto de alemanes entre 20 y 30 años, conociendo su nacionalidad y edad.
Ejemplo 3. Considere elenunciado “El grupo de los mejores maestros de la especialidad de sistemas computacionales”. Este enunciado no se puede tomar como conjunto ya que el término “mejor maestro” es subjetivo.
Ejemplo 4. Considere el enunciado “El grupo de alumnas más guapas de informática”. La frase “alumnas más guapas” es ambigua puesto que existen diferentes gustos para catalogar a una chica como guapa o no. Así, elenunciado no es un conjunto.
Más ejemplos de conjuntos.
* Los números 1, 3, 7 y 10.
* Las soluciones de la ecuación .
* Las vocales del alfabeto.
* Las personas que habitan la Tierra.
* Los estudiantes Tomás, Ricardo y Enrique.
* Los estudiantes ausentes de la escuela.
* Los países Inglaterra, Francia y Dinamarca.
* Los números pares positivos.
* Los ríos de laRepública Mexicana.
Por lo general, los conjuntos se denotan con letras mayúsculas
A, B, C, D, …
Mientras que los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas
a, b, c, d, …
Los elementos se colocan entre llaves, { }, separados por comas.
Ejemplo 5. El conjunto A tiene como elementos a las letras de la palabra “mandarina” y éste se representa como:
A = {m, a, n, d, r, i}Observe que las letras a y n se escriben una sola vez, además el orden de los elementos no es importante. Así
A = {a, d, i, m, n, r}.
Para indicar que x es un elemento del conjunto A, se escribe x A; y si x no es un elemento de A, se escribe x A.
Ejemplo 6. Sea el conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}. En este caso, se tiene que 3 A pero 6 A, 9 A pero 11 A.
Existen dos maneras de representar unconjunto: explícita e implícita. La explícita es cuando se escriben los elementos del conjunto, mientras que la implícita se da cuando se enuncian las características que deben tener sus elementos.
Ejemplo 7. Sea A el conjunto de los días de la semana. Entonces la representación explícita de A es
A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}.
Mientras que la representaciónimplícita de A es
A = {x | x es un día de la semana}.
que se lee “A es el conjunto de las x tales que x es un día de la semana”. La barra vertical “|” se lee “tales que”.
Ejemplo 8. Sea A el conjunto de las vocales. Entonces la representación explícita de A es
A = {a, e, i, o, u}
Mientras que su representación implícita está dada por
A = {x | x es una vocal}.
Ejemplo 9. Sea A el conjunto de losmeses del año. Entonces la representación explícita de A es
A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre}.
Mientras que la representación implícita de A es
A = {x | x es un mes del año}.
Note que es más fácil escribir la forma explícita de A.
Ejemplo 10. Sea S el conjunto solución de la ecuación . La forma implícita de S es
S =...