Teoría de Conjuntos

Teoría de Conjuntos
Detrás de las matemáticas que se estudian está el concepto de conjunto, éste proporciona una estructura subyacente para una formulación concisa del tema matemático en cuestión. Definir un conjunto es bastante difícil y con frecuencia da lugar a un uso circular de sinónimos como “clases”, “colección” y “agregado”.

Conjuntos y Subconjuntos
Se tiene cierta “noción intuitiva” enel sentido de que un conjunto debe ser una colección bien definida de objetos, los cuales son llamados elementos y se toman como miembros del conjunto.
El adjetivo bien definido implica que para cualquier elemento que se considere, se puede determinar si está en el conjunto observado.
Se utilizaran letras mayúsculas para representar los conjuntos y letras minúsculas para los elementos. Para unconjunto A, se escribirá xEA, si x es un elemento de A, y A indica que y no es miembro de A. Un conjunto puede designarse enumerado sus elementos dentro de llaves.
Los símbolos {x|x} se lee “tal que” {x|…} se lee “el conjunto de todos los x tales que”. La notación {x|1} no es una descripción adecuada del conjunto, a menos que se acuerde previamente que los elementos considerados son enteros,especificando así un universo o universo de discurso, que por lo general se denota U, eligiendo así elementos de U para formar conjuntos.
Al trabajar con conjuntos finitos o infinitos se pueden describir los conjuntos en términos de las propiedades que deben satisfacer sus elementos o enumerar los elementos suficientes para indicar un patrón evidente. Para cualquier conjunto finito A, |A| denota elnúmero de sus elementos y se conoce como el cardinal, o tamaño de A.
Si C, D son conjunto del universo U, se dice que C es subconjunto de D denotado CϹD, o DϽC, si cada elemento de C es elemento de D. Si D contiene un elemento que no está en C entonces C es un subconjunto de D y se denota CϹD o DϽC.

Igualdad de Conjuntos
Para un U dado, los conjuntos C y D son iguales y esto se escribe C = D, cuandoDϹC y CϽD.
A partir de la igualdad de conjuntos, el orden a la repetición no son significativos para un conjunto en general. Dos conjuntos A y B no son iguales si y sólo si:
1. existe al menos un elemento xEU tal que xEA pero xEB.
2. existe al menos un elemento yEU tal que yEB pero yEA.

Sean A, B, C Ϲ U
Argumentos de pertenencia de un elemento, en todas estas demostraciones x representa un elementode A, fijo pero elegido en forma albitraria; y aunque x sea genérico (ya que no es un elemento específico de A), es el mismo durante toda la demostración.
El conjunto vacío o nulo, es el único conjunto que no elementos. Se denota como ø o {}. |ø| = 0, pero {ø} ≠ 0, ø ≠ {ø} ya que {ø} es un conjunto con un elemento. Se estará negando (contradiciendo un resultado anterior que aceptamos comoverdadero).
Para cualquier U, sea A≤U. Entonces øϹA y si A≠ø, entonces øϹA.
Demostración. Si el primer resultado no es verdadero, entonces øϹA, por lo que existe un elemento x del universo tal que xEø pero xEA. Pero xEø es imposible. Así, rechaza la hipótesis øϹA. Además, si A≠ø, entonces existe un elemento aEA (y aEø), por lo que øϹA.
Si A es un conjunto del universo U, el conjunto potencia, que sedenota P(A), es la colección (conjunto) de todos los subconjuntos de A.
Z = conjunto de números enteros
N = conjunto de números no negativos o números reales.
Z+ = conjunto de enteros positivos
Q = conjunto de números racionales
Q+ = conjunto de números racionales positivos
Q▪ = conjunto de números racionales distintos de 0
R = conjunto de números reales
R+ = conjunto de números reales positivos
R▪= conjunto de números reales distintos de 0
C = conjunto de números complejos
C▪ = conjunto de números complejos distintos de 0

Para cualquier nEZ+, Zn = {0,1,2,….n-1}
Para los números reales a, b con a El primer conjunto se conoce como intervalo cerrado, el segundo como intervalo abierto y los otros dos...

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