Teoría De Matemática 2

TEORÍA DE MATEMÁTICA II

• Enunciados y Demostraciones


a) Demuestre que si f es derivable en un punto x0 entonces es continua en x0 y muestre que la información recíproca no es cierta.
Dem/
Debemos probar que [pic]. Pero esto es inmediato, pues:
[pic]


Veamos ahora q la recíproca no es cierta, basta con ver un contraejemplo:
[pic] es continua en x=0 y sinembargo no es derivable en tal punto.


b) Enuncie y demuestre el teorema del valor medio de Lagrange.
“Sea f continua en [a;b] y derivable en (a;b). Entonces, existe al menos un [pic] tal que:
[pic]”
Dem/


Aplicaremos el teorema de Rolle a una función h definida como la diferencia entre f y la función cuya gráfica es la secante AB.
La pendiente de la recta secante ABes [pic] . Luego la ecuación de la recta AB se puede escribir de la siguiente forma: [pic] o bien [pic],
Entonces [pic]
Veamos primero que h satisface las hipótesis del teorema de Rolle


1) la función h es continua en [a;b] por ser la suma de f y un polinomio de primer grado, y ambos son continuos
2) la función h es derivable en (a;b) pues tanto f como el polinomio de primergrado son derivables. Calculemos [pic]
[pic] observemos que f(a)y [pic] son constantes.
3) [pic][pic]
Por lo tanto h(a)=h(b)=0
Dado que h cumple las hipótesis del teorema de Rolle, según ese teorema hay un número [pic] tal que [pic], por lo tanto [pic]
Entonces [pic]


c) Enuncie el teorema de Bolzano. Grafique.
Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado[a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, entonces existe por lo menos un punto c entre a y b donde f(c)=0


[pic]


d) Demuestre que si F(x) y G(x) son dos primitivas (o antiderivadas) de f(x) en el intervalo I entonces G(x)-F(x)=c (constante) [pic]


Dem/
Veamos que G(x)-F(x) es igual a una constante [pic] demostrando que la derivada de esta diferencia es cero.[pic] [pic]


e) Demuestre que si f(x) y g(x) son continuas en x0, entonces la función diferencia f(x)-g(x) es continua en x0


Dem/
Sabiendo que [pic]y que por hipótesis f y g son continuas en x0, tenemos que [pic]
Por lo tanto [pic]. Entonces f(x)-g(x) es continua en x0.


f) Defina derivada de una función f(x) en un punto c e interprete geométricamente ladefinición.
Definición: Sea f una función y sean c y h números reales (h no nulo). Llamamos derivada de f en c y lo simbolizamos [pic], al número: [pic] siempre que éste límite exista y sea finito.
Interpretación geométrica
Supongamos que [pic] es la gráfica de la función f, definida en un intervalo (a,b).


El punto [pic] es entonces un punto de coordenadas (c, f(c)), con c[pic](a,b).Q puede tomarse como un punto de coordenadas (c+h, f(c+h)), donde h es un número real no nulo y tal que c+h [pic](a,b).

La pendiente de cada segmento [pic], es: [pic] (este cociente se denomina cociente incremental de f en c)
El “tender” de Q hacia P se logra tomando: [pic]
La pendiente de la recta tangente, r, a [pic] en el punto P es :[pic]


g) Enuncie y demuestre lafórmula de integración por partes.


[pic]

Si f y g son funciones derivables en un mismo conjunto, tenemos: [pic] , por lo que: [pic]
Es decir: [pic]
De donde (considerando a c incluida en la integral del segundo miembro):
[pic]


h) Enuncie el teorema de Rolle e interprete gráficamente el enunciado
Sea f continua en [pic] y derivable en [pic] y supongamos que [pic]. Entonces,existe al menos un [pic]tal que [pic]
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos( es decir que[pic]) , entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio( es decir, un extremo relativo)


i) Demuestre el siguiente enunciado: “Si f es una función continua en [pic] y derivable en [pic], con [pic], entonces existe [pic]”...