Teoría Del Error

Teoría del Error

Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se basan en resultados de medidas experimentales, por lo tanto es muy importante expresar dichos resultados con claridad y precisión.
El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre.
En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el método de medición, el observador(u observadores) que realizan la medición. Asimismo, el mismo proceso de medición introduce errores o incertezas.
 Es por ello que para tener una idea correcta de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable establecer los límites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teoría de errores establece estos límites.

Formas de medir el error

• Errorabsoluto
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:


Error absoluto = [exacto - calculado]
Ea = | x – xr|

Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muypesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, estánestadísticamente distribuidos.


• Error relativo
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos


Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]
[pic]


El error relativoes una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa este efecto.

• Error RelativoModificado
El error relativo modificado es la diferencia que existe entre el valorexacto y su valor redondeado, dividido entre el promedio de estasdos cantidades.

������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ =
[pic]



Tipos de Errores

• Error de Redondeo
Se originan al realizar loscálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando.
Existen dos tipos de errores de redondeo:

* Error de redondeo inferior: se desprecian losdígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:


Para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Para números negativos, el últimodígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo.
Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito.
Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras...