Teoría ecuaciones y desigualdades

Teoría ecuaciones y desigualdades
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2 x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores quedeben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2
−13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x +1
Ecuación de segundo grado
5x + 3 = 2x2 + x
Ecuación de tercer grado
5x3 + 3 = 2x +x2
Ecuaciónde cuarto grado. 
5x3 + 3 = 2x4 +1


Clasificación de ecuaciones

Ecuaciones polinómicas enteras
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones polinómicas
1. Ecuaciones de primer grado o lineales
Son del tipo ax + b = 0, con a ≠ 0,ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
(x + 1)2 = x2 - 2
x2 + 2x + 1 = x2 - 2
2x + 1 = -2
2x + 3 = 0
2. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
ax2 + b = 0
ax2 + bx = 0
3. Ecuaciones de tercer grado
Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 +cx + d = 0, con a ≠ 0.
4. Ecuaciones de cuarto grado
Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.
ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.
5. Ecuaciones de grado n
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:
a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0
Ecuaciones polinómicas racionales
Lasecuaciones polinómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Ejemplos 

Ecuaciones polinómicas irracionales
Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.
Ejemplos 
1. 
2.
3. 

Ecuaciones no polinómicas
1. Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
Ejemplos 
1. 
2. 
3.
2. Ecuacioneslogarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Ejemplos 
1.
2. 
3. 
3 Ecuaciones trigonométricas
Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.
Ejemplos
1. 
2. 
3.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
x + 3 = −2
x= −5
Criterios de equivalencia de ecuaciones
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3−2
x = 1





















Ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.

Ejemplos 
1. 
Despejamos la incógnita:


2. 
Agrupamos lostérminos semejantes y los independientes, y sumamos:


3. 
Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:



4. 
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.


Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:


5. 
Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores,...