Teoría general de los sistemas

TEORIA GENERAL DE SISTEMAS Cibern´tica e
Andreas Polym´ris P. e DIICC, Universidad de Concepci´n o Noviembre de 1990
A fines del siglo XVIII, James Watt inventa la locomotora a vapor, pero al mismo tiempo tal vez tambi´n la cibern´tica. Pu´s decide regular la fuerza de tracci´n en base e e e o a la velocidad actual de la locomotora, para asi contrarestar las variaciones de resistencia que lalinea ferrea fuese oponiendo a la locomotora, para lograr mayor regularidad de viaje. Si suponemos que la masa de la locomotora es la unidad, que en cada momento t, v(t) es la velocidad y v (t) la aceleraci´n de la locomotora, que f (t) es la fuerza de la o m´quina y que g(t) es la resistencia de la linea ferrea, tendremos v (t) = f (t) − g(t). J. a Watt concibi´ entonces un regulador mec´nico, ungobernador centrifugal, que impone, o a regulando el insumo de combustible a la caldera, f (t) := −av(t) + b, donde a y b son dos constantes positivas. Por lo tanto, reemplazando, obtendremos v (t) = −av(t) + b − g(t). Si g es la resistencia normal y lo que se intenta en el caso normal es una velocidad norˆ ˆ mal v con aceleraci´n 0, tendr´ que ejercerse la fuerza normal f := g y dise˜ar elregulador ˆ o a ˆ n de tal manera que aˆ = b− g . Entonces con la transformaci´n de variables w(t) := v(t)− v v ˆ o ˆ la ecuaci´n diferencial de arriba resulatar´ equivalente a w (t) = −aw(t) − (g(t) − g ). La o a ˆ soluci´n homogenea de esta ecuaci´n, o sea aquella que se obtendr´ cuando g(t) = g , o o ıa ˆ cuando la resistencia es siempre normal, es w(t) = ce−at , donde c puede ser cualquier constante.Por lo tanto, en este caso, despu´s de un corto per´ e ıodo de transici´n, teno dremos w(t) = 0. Veamos ahora que sucede cuando g(t) no es normal, cuando se da una perturbaci´n de la normalidad. o Supongamos para comenzar que d > 0 y que g(t) − g := dSin(t). Entonces las soluˆ ciones de la ecuaci´n diferencial, parametreadas con c, son: w(t) := ce−at + (−adSin(t) + o 2 dCos(t))/(1 + a ). Lo queimplica w (t) := −cae−at + (−dSin(t) − adCos(t))/(1 + a2 ). O sea que despu´s de alg´n tiempo estas funciones ser´n pr´cticamente dos arm´nicas y sus e u a a o amplitudes resultar´n m´s peque˜as, en comparaci´n con el valor absoluto de d, mientras a a n o mayor sea a —y note que, adecuando b, formalmente se puede exigir cualquier a. Por lo tanto se puede decir que de hecho, al menos en este caso laregulaci´n permite o mantener w(t) y w (t) cercanos a 0, estabilizar las velocidades y aceleraciones durante el 1

viaje. Y si suponemos que g(t) − g es una funci´n sufuci´ntemente diferenciable, entonces ˆ o e esta puede ser descompuesta en la suma de sus arm´nicas, y, solucionando la ecuaci´n o o diferencial para las componentes y finalmente, debido a la linealidad de la ecuaci´n diferenocial, sumando estas soluciones parciales, obtenemos la solucion para la perturbacion dada. Debido a todo esto, escencialmente obtendremos el mismo resultado: Si a es grande, w(t) y w (t) tendr´n valores absolutos peque˜os, v(t) se mantendr´ bastante cercano a v : la a n a ˆ idea de J. Watt es sensacional. Pero, como son las cosas en la vida, la estabilidad no se consigue gratis: la m´quina a ˆ =−aw(t) = w (t) + (g(t) − g ) deber´ ser al deber´ responder por ella puesto que f (t) − f a ˆ a menos tan irregular como g(t) − g , la m´quina estar´ obligada a soportar pr´cticamente ˆ a a a todo el estr´s que g impone al sistema —suponiendo que a sea grande. O, usando los e t´rminos del apartado anterior, el orden de las variables de viaje s´lo es posible si la e o m´quina es capaz de hacerse cargo deldesorden exterior. a Esto, claro, ser´ parecido para personas que en un cierto plano, digamos el profea sional, deben funcionar con mucha regularidad o estabilidad: deber´n tener capacidades a de contra-restar —si, en el sentido cibern´tico de retroactividad negativa— las variaciones e exteriores, usando para ello sus capacidades interiores, por ejemplo las s´ ıquicas o tambi´n e las...