Teorías de Airy y Stoke


CONTENIDO:

Teoría de Airy


Solución lineal de la ecuación de ondas.

Introducción y ecuaciones que rigen la propagación del oleaje.

La propagación de oleaje en un fluido es un proceso no lineal. Podemos tratar sin embargo de simplificar su análisis físico y matemático con algunas consideraciones:

-Para nuestro estudio del movimiento ondulatorio consideraremos que las fuerzasprincipales a considerar son las de gravedad y las producidas por las diferencias de presión, suponiendo que el fluido es no viscoso ( µ = 0 ) y que se pueden despreciar las tensiones tangenciales.

-Supondremos que el agua es un fluido incompresible ( ρ = 0).

-Aceptaremos que el movimiento, en realidad tridimensional, se reduce a una componente horizontal u y otra vertical w .

-Daremospor bueno que se trata de un movimiento irrotacional ∇×u = 0 y que podremos, por tanto, definir un potencial de velocidades tal que ∇φ = u (ver Fig. A.1 – 1).



-El fondo se tomará fijo e impermeable. -Se supondrá la ola periódica y regular y que la única fuerza exterior que tiene efecto sobre el fluido es la gravedad terrestre. La tensión superficial tampoco se tendrá en cuenta.

-Elefecto de Coriolis y las pérdidas de energía por rotura de la ola son despreciables.

Tomamos pues la siguiente ecuación de la conservación del momentum para fluidos no viscosos (Ecuación de Euler):



donde u es el campo escalar de velocidades del fluido, P es la presión hidrostática del fluido (que depende de las coordenadas x, z), g es el vector constante de aceleración producida por lagravedad y ρ es la densidad del fluido.∇ denota al operador vectorial nabla.

Hemos considerado un sistema de referencia cartesiano cuyo plano xy es tangencial a la superficie de la Tierra y cuyo eje z es vertical (paralelo a un radio de la Tierra) y positivo hacia arriba, teniendo como origen la altura de equilibrio para el fluido, es decir, aquella altura en la que la superficie del fluido estáimperturbada y horizontal. Así, las ondas se mueven a lo largo del plano xy y, por lo tanto, tendrán asociadas una función de onda bidimensional (que depende de dos variables). El valor de la función de onda se mide desde el cero del sistema de referencia.

La ecuación (A1 - 1) es físicamente mucho más simple de lo que a primera vista podría parecer: el lado izquierdo no es otra cosa que undesarrollo de la derivada total de la velocidad u , y el derecho es la suma de las aceleraciones debidas a la variación (gradiente) de presión y a la fuerza de gravedad.

Tenemos pues una ecuación de movimiento para fluidos pero a pesar de que sabemos que la función de onda debe ser congruente con dicha ecuación, aún desconocemos cómo obtenerla a partir de ella. Quisiéramos llegar a una ecuación deonda, compatible con la ecuación del movimiento, cuya solución fuera precisamente la función de onda. Para conseguirlo debemos recurrir, además de a la ecuación de movimiento, a la llamada ecuación de continuidad, o ecuación de conservación de masa. Esta ecuación establece que en el flujo de un fluido, si no existen vertederos o manantiales de líquido, la masa siempre debe conservarse. O enmatemáticas:





Un caso particular de (A1 - 2) se da cuando el fluido es incompresible, es decir, cuando ρ no cambia con el tiempo. Con lo cual


Así, un fluido incompresible fluye siempre de forma tal que sus líneas de flujo son siempre paralelas, es decir, no divergen ni convergen, como si fluyera “ordenadamente” 1 .1

Vamos a exponer ahora las ecuaciones que gobiernan la propagación deloleaje en el fluido ideal.

- Ecuación de Laplace: la cumplen los flujos irrotacionales e incompresibles y considera que no hay variación ni de masa ni de volumen en el tiempo (incompresibilidad y conservación de la masa).



- 1ª condición de contorno en la superficie libre. Considera que las partículas de agua en la superficie libre η ( x,t) permanecen en esta:



η ( x,t) es el...