Tercer trabajo de algebra


EJERCICIOS DEL TERCER CORTE.
PROCESO GRAM-SCHMIDT, FACTORIZACIÓN QR, TRANSFORMACIONES LINEALES

1.- Obtener la factorización QR de la matriz:

2.- Obtener la factorización QR de la matriz:

3.- Obtener una base ortonormal de , con el producto escalar canónico, partiendo de una base formada por los vectores

4.- Obtener una base ortonormal de , con el producto escalar canónico,partiendo de una base formada por los vectores

5.-Encuentre la matriz asociada de la transformación lineal .

6.- Sea una transformación lineal definida
Determine:
Núcleo(T) , Nulidad(T)
Imagen(T), Rango(T)
La matriz asociada a la transformación lineal respecto a las bases y


7.- Sea una transformación lineal definida por:
Determina una base para el kernel(t) y la Imagen(t)

.8.- Sea T:P2P2 una transformación lineal para la cual T(1+x) = 1 + x2,
T(x + x2) = x – x2, T(1 + x2) = 1 + x + x2
Encuentre T(4 - x + 3x2) y T(a + bx +cx2)

9.- Sea definida por
Probar que es una transformación lineal







Respuestas:

1.- Obtener la factorización QR de la matriz:



V1= U1
V1=(1,0,1)
V2= U2-
V2=(1,-1,0)-


V2= (1,-1,0)- V2=(1,-1,0)-()V2= 2 V2=(1,-1,-1)

V3= U3-.V1-

-1 0
V3=(0,1,-1)-.(1,-1,-1) = 0/3= 0
2 3

V3=(0,1,-1)- V3=(0,1,-1)-

V3= 2 V3=(1,1,-1)

Baseortogonal: {(1,0,1);(1,-1,-1);(1,1,-1)}

q1= * v1 = =

q1= .(1,0,1) q1=

q2= * v2 = =

q2= * (1,-1,-1) q2=

q3= * v3 = =
q3= * (1,1,-1) q3=

Base ortogonal: {

= *

Q R


2. Obtener la factorización QR de la matriz A

U1= U2= U3 =


V1= U1
V1= (2,1,-2)


V2= U2-V1.U2 . V1 V2 = (8,7,-2) – (2,1,-2).(8,7,-2) . (2,1,-2)
V1.V1 (2, 1,-2) (2, 1,-2)




V2= (8, 2,-2) – (3).(2,1,-1) V2= (8, 7,-2) – (6,3,-6)

V2= (2,4,4 )

V3= U3- V1 . U3 . V1 - V2. U3 . V2
V1. V1 V2. V2V3= (2,-1,1) - (2, 1,-2). (2,-1, 1) . (2, 1,-2) - (2, 4,4) . (2,-1, 1) . (2, 4,4)
(2, 1,-2) (2, 1,-2) (2, 4,4) (2, 4,4)


V3 = (2, -1, 1) – 1 . (2, 1,-2) –4 . (2, 4,4)
9 36

V3= (2,-1,1) - 2 , 1 , -2 - 2 , 4 , 4
9 9 9 99 9


V3= 16 , -10 , 11 - 2 , 4 , 4 9 V3 = (14, -14, 7)
9 9 9 9 9 9...