Tere de la cruz

5.1.1 Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple

Un aspecto importante al evaluar la adecuación de un modelo de regresión lineal es la prueba de las hipótesis estadísticas acercade los parámetros del modelo y la construcción de ciertos intervalos de confianza.
Para probar hipótesis acerca de la pendiente y la ordenada al origen del modelo de regresión, debeestablecerse el supuesto adicional de que el componente del error del modelo,ε, sigue una distribución normal. Por lo tanto, los supuestos completos son que los errores siguen una distribución normal eindependiente con media cero y varianza σ2, que se abrevia NID (0, σ2 )

Uso de las pruebas t
Suponga que quieren probarse las hipótesis de que la pendiente es igual a unaconstante, por ejemplo, β1,0. Las hipótesis apropiadas son
Η0:β1=β1,0
Η1: β1≠β1,0
Donde se ha supuesto una hipótesis alternativa de dos colas. Puesto que los errores εi son NID(0, σ2 ), se sigue directamente que las observaciones γι son NID β0+βıxi,σ2 . Por tanto, β1 es una combinación lineal de variables aleatorias normales e independientes, y por consiguiente,β1 es Nβ1,σ2sxx, usando las propiedades del sesgo y de la varianza de la pendiente. Además, (n - 2) σ2 /σ2 tiene una distribución ji-cuadrada con n – 2 grados de libertad, y β1 esindependiente de σ2. Como resultado de dichas propiedades, el estadístico
T0=β1-β1,0σ2sxx
Sigue la distribución t con n – 2 grados de libertad bajo Η0:β1=β1,0. Se rechazaría Η0: β1=β1,0 si
t0>ta2,n-2 .

donde t0 se calcula con la ecuación
T0=β1-β1,0σ2sxx
El denominador de la ecuación anterior es el error estándarde la pendiente, por lo que el estadístico de la prueba podría escribirse como
T0=β1-β1,0se(β1)
Puede usarse un procedimiento similar para probar hipótesis acerca de la ordenada al origen.