Termino algebraico

Término Algebraico

Objetivo de aprendizaje:
Identificarás un término algebraico a partir de los elementos que lo conforman.

Introducción:
Los términos algebraicos forman parte del Álgebra, la cual es una rama de las matemáticas, que se caracteriza por estudiar la forma de resolver ecuaciones y por poseer para tal fin un lenguaje propio, el cual se conforma primordialmente de letras ynúmeros y algunos símbolos con un significado bien definido, como por ejemplo los que se usan en la aritmética para denotar las operaciones básicas: +, -, ( ), /, los cuales representan relaciones matemáticas.

Mientras que en la aritmética, las cantidades se representan por números, los cuales tienen valores determinados, en el álgebra las cantidades se representan por medio de letras, las cualeslogran una generalización tal, que una letra puede representar cualquier cantidad.

A continuación abordaremos cada uno de los elementos o partes que conforman un término algebraico, los cuales podrás identificar dentro del mismo.

Aplicación algebraica
APLICACIONES LINEALES
Sea Vk y Wk espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, una aplicación
f: V W se llama aplicación lineal si :
* "u, v V y , K f( u + v ) = f( u ) + f(v) (se puede generalizar a cualquier nº de sumandos)
* en dos partes:
* f( u+ v ) = f(u) + f(v)
* f( u ) = f(u)
NOTAS
F ( 0v) = 0w porque en particular Tb. es un homomorfismo de grupos
F( - u ) = - f( u ) por lo mismo
Si V = W entonces se trata de un endomorfismo
Sea { u1,...,up } vectores LD en V :
* entonces { f(u1),..., f(up)} son LD en W
Sea f: V W y g: W U aplicaciones lineales :
* g o f : V U también es una aplicación lineal
Las aplicaciones lineales no conservan la independencia de vectores
APLICACIONES DESTACADAS
* nula : 0: V W " u V 0(u)= 0w
* identidad : i : U W " u U i(u) = u
NÚCLEO E IMAGEN
Sea f: V W una aplicación lineal:
* f(V) = Im(f) es subespacio vectorial de W* si { u1,...,up} generan V , entonces:
{f(u1),...,f(up) } son también generadores de Im(f) , pero no de W.
Llamamos rango de f (rang(f)), a la dimensión de la Im(f), es decir
Al rang ( f(u1),...,f(up) )
* el conjunto f -1{ ( 0w)} = { u V / f(u) = 0w } = Ker (f) es un subespacio vectorial de V, que llamamos núcleo de la aplicación lineal.
* Si V es un espacio vectorial de dimfinita, dim(V) = dim ( Ker(f)) + dim(Im (f))
PROPIEDADES DE UNA APLICACIÓN INYECTIVA
* Sea f: V W aplicación lineal, f es inyectiva sí y sólo si:
* si Ker f = { 0 v }
 si los espacios V y W son de dim finita, se verifica que f es inyectiva sí y sólo sí:
 dim V = dim ( Im (f)) ! la imagen de una base de V es una base de Im(f) ( NO DE W) , es decir, un conjunto de vectores LI de WPROPOSICIÓN
* la composición de isomorfismos, es un isomorfismo
* f: V W aplicación lineal es isomorfismo ! Ker f = { 0v } e Im(f)= W
* si dim V es finita f: V W aplicación lineal entonces f es isomorfismo ! f es inyectiva ! f es sobreyectiva
* si f :V W es isomorfismo entonces , f -1 : W V es también isomorfismo
* dos espacios vectoriales sobre K con dim finita son isomorfos! tienen la misma dim
MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Sean V y W espacios vectoriales, sea B base de V , B = { e1,...,en} y { w1,...,wn} conjunto de vectores de V , entonces :
* existe una única f: V W aplicación lineal / f(e1) = w1...y f(en) = wn
con esta proposición vemos que si V tiene dim finita, una aplicación lineal queda totalmente definida si se conocen las imágenes de loselementos de una base de V
Sea V un espacio vectorial, y B = { e1,..., en} base deV, para cada vector x de V tenemos M B x = x1 , x = x1 e1 + ...+ xnen
X2
Xn
Sea f aplicación lineal f: Vn Wm , supongamos B' = { u1,..., un} base de W, sabíamos que para conocer f bastaba conocer las imágenes de V, para ello bastará saber su CL con respecto a la base B' de W
F(e1) = w1 = a11.u1 + a21.u2 +...