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Páginas: 3 (606 palabras)
Publicado: 28 de marzo de 2014
Método de Cárdano
Estrategia general del método
La ecuación general de tercer grado
Con números reales y se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo quequeda:
Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:
Con lo cual,
Y
La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver porel método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial, las soluciones de la ecuación original.
Resolución
Partiendo de la ecuación
Se realiza una sustitución del tipo .Entonces
Parahacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:
Que también es equivalente al sistema de ecuaciones y. Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète,y son las soluciones de la ecuación de segundo grado
De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas solucionesu otras.
Si Δ es positivo
La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que
La única solución real es entonces. Además, existen dos soluciones complejasconjugadas :
Si Δ es cero
La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble:
Si Δ es negativo
La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario haceruna incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde y; es el siguiente conjunto:
La forma real de lassoluciones se obtiene escribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose:
Método de Nicolás Tartaglia
Sea una ecuación de tercer grado cualquiera, por ejemplo x3 — 5x2 + 17x — 13 = 0. Suresolución, según Tartaglia y Cardano, es la siguiente:
Se reduce a la forma X3 + pX + q = 0, mediante el cambio de variable oportuno.
En este caso X = x + 2.
La ecuación anterior se convierte en:...
Estrategia general del método
La ecuación general de tercer grado
Con números reales y se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo quequeda:
Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:
Con lo cual,
Y
La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver porel método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial, las soluciones de la ecuación original.
Resolución
Partiendo de la ecuación
Se realiza una sustitución del tipo .Entonces
Parahacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:
Que también es equivalente al sistema de ecuaciones y. Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète,y son las soluciones de la ecuación de segundo grado
De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas solucionesu otras.
Si Δ es positivo
La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que
La única solución real es entonces. Además, existen dos soluciones complejasconjugadas :
Si Δ es cero
La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble:
Si Δ es negativo
La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario haceruna incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde y; es el siguiente conjunto:
La forma real de lassoluciones se obtiene escribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose:
Método de Nicolás Tartaglia
Sea una ecuación de tercer grado cualquiera, por ejemplo x3 — 5x2 + 17x — 13 = 0. Suresolución, según Tartaglia y Cardano, es la siguiente:
Se reduce a la forma X3 + pX + q = 0, mediante el cambio de variable oportuno.
En este caso X = x + 2.
La ecuación anterior se convierte en:...
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