Termodinamica

Tema 4. Integraci´n de Funciones de Variable Compleja o
Prof. William La Cruz Bastidas 7 de octubre de 2002

Tema 4

Integraci´n de Funciones de Variable o Compleja
4.1 Integral definida
F (t) = U (t) + iV (t), donde U (t) y V (t) son funciones reales de t continuas a trazos definidas en el intervalo acotado y cerrado a ≤ t ≤ b. Bajo estas condiciones, la funci´n F es continua a trozos y laintegral definida o de F (t) en el intervalo a ≤ t ≤ b se define como:
b a

Sea F (t) una funci´n de variable real con valores complejos definida como o

F (t)dt =

b a

U (t)dt + i

b a

V (t)dt,

(4.1)

y se dice que F (t) es integrable en [a, b]. Propiedades de la integral definida Sean F (t) = U (t) + iV (t), F1 (t) = U1 (t) + iV1 (t) y F2 (t) = U2 (t) + iV2 (t), integrables en[a, b]. A partir de la ecuaci´n (4.1) se deducen f´cilmente las siguientes propiedades de la integral definida. o a i) Re ii) Im iii) iv) v)
b a F (t)dt b a F (t)dt

= =

b a Re b a Im

{F (t)} dt. {F (t)} dt. para toda constante compleja c. +
b a F2 (t)dt.

b a cF (t)dt b a [F1 (t)

=c

b a F (t)dt,

+ F2 (t)] dt = ≤

b a F1 (t)dt

b a F (t)dt

b a |F (t)| dt. π/4 0

Ejemplo4.1 Calcular la integral

eit dt.

1

´ TEMA 4. INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA o Soluci´n. Se tiene que eit = cos t + isen t, ahora, utilizando la ecuaci´n (4.1) o
π/4 0

2

eit dt =

π/4 0

cos t dt + i
π/4

π/4 0

sen t dt

= [sen t]0 + i [− cos t]0 √ √ 2 2− 2 = +i . 2 2

π/4

♦

4.2
4.2.1

Integraci´n de l´ o ınea
Contornos

Se presentan ahoravarias clases de curvas adecuadas para el estudio de las integrales de una funci´n de variable compleja. o Definici´n 4.1 (Curva) Una curva C es un conjunto de puntos z = x + iy en el plano complejo o tales que (a ≤ t ≤ b), x = x(t), y = y(t), donde x(t) y y(t) son funciones continuas en el intervalo [a, b]. Los puntos de C se pueden describir mediante la ecuaci´n o z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)y se dice que z(t) es continua, ya que x(t) y y(t) son continuas. Definici´n 4.2 (Curva suave) Una curva C se llama curva suave, si z (t) = x (t) + iy (t) o existe y es continua en el intervalo a ≤ t ≤ b y si z (t) nunca se hace cero en el intervalo. Definici´n 4.3 (Contorno) Un contorno o curva suave a tramos, es una curva que consta de o un n´mero finito de curvas suaves unidas por sus extremos.u Definici´n 4.4 (Contorno cerrado simple) Sea C un contorno. Se dice que C es un cono torno cerrado simple si solamente los valores inicial y final de z(t) son iguales (z(b) = z(a)).

4.2.2

Integrales de l´ ınea

Sea f (z) una funci´n de variable compleja. Sea C un contorno representado por la ecuaci´n o o z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)

que se extiende del punto α = z(a) al punto β =z(b). Supongamos que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es continua a trozos en C, es decir, las partes real e imaginaria, u(x(t), y(t)) y v(x(t), y(t)),

´ TEMA 4. INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

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de f (z(t)) son funciones de t continuas por tramos. Bajo estas condiciones, se define la integral de l´nea de f a lo largo de C como: ı f (z) dz =
b a

C

f (z(t))z (t) dt,

(4.2)donde z (t) = x (t) + iy (t). Asociado al contorno C de la ecuaci´n (4.2), est´ el contorno −C, el cual se describe por la o a ecuaci´n z = z(−t) donde −b ≤ t ≤ −a. Por tanto, o f (z) dz =
−b −a

−C

f (z(−t))z (−t) dt,

(4.3)

donde z (−t) denota la derivada de z(t) con respecto a t evaluada en −t. Propiedades de las integrales de l´ ınea Sean f (z) y g(z) funciones de variablecompleja continuas a trozos sobre un contorno C descrito o o a por la ecuaci´n z = z(t) (a ≤ t ≤ b). A partir de la ecuaci´n (4.2) se deducen f´cilmente las ınea. siguientes propiedades de las integrales de l´ i) ii)
C C

af (z) dz = a

C

f (z) dz, para toda constante compleja a.
C

[f (z) + g(z)] dz =

f (z) dz +

C

g(z) dz.

iii) Si C consta de una curva C1 desde α1 hasta β1 y de...