Termodinamica

Primeira Lei da Termodinâmica
Volume de Controle

Volume de Controle
A tarefa principal, ao passarmos da formulação do sistema para volume
de controle, consiste em expressar a taxa da propriedade extensiva
arbitrária “N” para um sistema, em termos das variações, em relação ao
tempo, desta propriedade associadas ao volume de controle.

O Teorema de Transporte de Reinoulds (T.T.R.)expressa a variação de
uma propriedade extensiva qualquer em um volume de controle através
da superfície de controle.

dN
dt

sist




   d    V .d A
t c
sc

Onde:

N

Propriedade extensiva qualquer




Propriedade específica, em termos de massa,
relativa a N




V


A

Massa específica
Volume
Vetor do campo de velocidade
Vetor área

N
m

Equação da Continuidade (Conservação da Massa)

dN
dt

sist




   d    V .d A
t c
sc

N  m,   1


dm

   d    V .d A
dt sist t c
sc

Equação da Continuidade (Conservação da Massa)



dm

   d    V .d A
dt sist t c
sc

como




 d    V .d A  0

t c
sc
Equação da Continuidade

dm
0dt sist

Equação da Continuidade (Conservação da Massa)




c  d   sc V .d A  0

t 
Hipóteses:
1. Regime Permanente



 V .d A  0


c  d   0
t 

sc

Considerando o escoamento com uma velocidade
média e normal à superfície de controle, tem-se que:

 VA   VA  0

saida

entrada

Sistemas abertos (regime estacionário)
Massa noinstante t
no instante t+t (mi=0)

m  mi  mvc t 

Massa

m  me  mvc t  t 

Por conservação da massa

mi  mvc t   me  mvc t  t 
ou

mvc t  t   mvc t   mi  me

Em termos de taxa de tempo, vem

mvc t  t   mvc t  mi me


t
t t
ou a taxa instantânea

 mvc t  t   mvc t    d mvc
lim 

t 0 
t
dt


 mi   m
i
lim  t 0  t 
m

lim  e   me
 t 
t 0 

Vem

d mvc


 mi  me
dt

Para n entradas e saídas

d mvc


  mi   me
dt
i
e

ou por palavras
Taxa de variação da
massa contida no
interior do volume de
controle i

=

Caudal
mássico
total em todas as
entradas
no
instante i

Caudal mássico total
em todas as saídas
no instante i

‐Diferentes formas da equação da conservação
da massa
 em termos das propriedades locais
mvc   dV
V


mi 

A VndA i


me 

Vt

Vnt

dA

d
dt

V dV   A VndA  -  A VndA 
i

e

A VndA e

Escoamento unidimensional
O escoamento é normal à fronteira nas secções de
entrada e de saída
Todas as propriedades - incluindo velocidade e
massa específica –são uniformes em cada secção
de entrada ou saída


m  A Vn dA 


Vn V





AV

m  Vn  dA VA 
A
v

d mvc
AV
AV
i   me   i i -  e e

 m
dt
i
e
i vi
e ve

 Escoamento unidimensional estacionário
As propriedades num determinado ponto no
interior do volume de controle não variam com o
tempo
dm
vc



  mi   me  0

dt
i

 mi   me
i

e

e

Para que o escoamento de um fluido possa ser
estacionário o caudal mássico deve ser constante e
igual à entrada e saída, e as propriedades do fluido
em qualquer ponto do sistema não devem variar no
tempo, ou seja, todo o “elemento do fluido” (m)
numa dada posição possui sempre o mesmo estado
mecânico e termodinâmico.

Quando o escoamento nas secções deentrada e saída
V 'v
é unidimensional tem-se m 
sendo A a área da
A
secção e V’ a velocidade do escoamento.
Considere a figura

No intante t



Vi 2
E t   Evc t   mi ui 
 gzi 


2



Entre os instantes t e t+t,
mi entra no volume de controle
me sai do volume de controle


Ve2
 gze 
E t  t   Evc t  t   me ue 


2



Durante este...