Termodinamica

Tema 8.- INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice
1. Introducción 2. Ecuación del calor 3. Ecuación de onda 4. Ecuación de Laplace 1 3 5 7

1.

Introducción

En los temas anteriores, nuestra atención se ha centrado en encontrar soluciones generales de ecuacionesdiferenciales ordinarias. Ahora, nos interesará el estudio de otra clase de ecuaciones diferenciales, las llamadas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Estas ecuaciones surgen en relación con varios problemas físicos y geométricos cuando las funciones que intervienen dependen de dos o más variables independientes. Es importante señalar que sólo los sistemas físicos más sencillos puedenmodelarse por ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que la mayoría de los problemas de mecánica de fluidos y sólidos, transferencia de calor, teoría electromagnética, mecánica cuántica y otras áreas de la Física llevan a ecuaciones en derivadas parciales. Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una ecuación en la que interviene una o más derivadas parciales de una función de dos o másvariables independientes. El orden de la derivada más alta es llamado orden de la ecuación y una solución de una ecuación en derivadas parciales es una función que satisface la ecuación. En este tema nos centraremos en el estudio de ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables, esto es, ecuaciones de la forma A ∂2u ∂2u ∂u ∂2u ∂u +B +C 2 +D +E + Fu = G 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

donde A, B, C, .. . , G son funciones de x e y. Cuando G (x, y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea. Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes. 1. Ecuación unidimensional del calor ∂u ∂2u (x, t) = k 2 (x, t) ∂t ∂x 2. Ecuación unidimensional de onda ∂2u ∂2u(x, t) = a2 2 (x, t) 2 ∂t ∂x 1 (2) (1)

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.2

3. Ecuación bidimensional de Laplace ∂2u ∂2u (x, y) + 2 (x, y) = 0 ∂x2 ∂y (3)

La ecuación (1) aparece en la teoría del flujo de calor en una varilla o en un alambre delgado donde la función u (x, t) representa la temperatura de lavarilla. Los problemas de vibraciones mecánicas a menudo conducen a la ecuación de onda (2), en la que u (x, t) representa los pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante. Por último, la solución u (x, y) de la ecuación de Laplace (3) puede ser interpretada como la distribución estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana y delgada. Aquí no veremos cómose deducen estas ecuaciones sino que nos concentraremos en su resolución. Para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden –aún con las que tienen coeficientes constantes– no es fácil llegar a la solución general. Sin embargo, casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales anteriores ya que, generalmente, el objetivo que sepersigue no es únicamente la resolución de una ecuación en derivadas parciales, sino que, en la mayoría de los casos, se está interesado en la determinación de una solución particular que cumpla ciertas condiciones adicionales que surgen del problema. Por ejemplo, la condición de que la solución u asuma valores dados en la frontera de la región considerada o, cuando el tiempo t es una de lasvariables, que u esté dada en t = 0. Así, distinguiremos condiciones adicionales de dos tipos: Condiciones iniciales (asociadas a variables temporales). Condiciones de contorno o de frontera (relativas a variables espaciales). Hemos visto, en temas anteriores, que si una ecuación diferencial ordinaria es lineal y homogénea, entonces, a partir de soluciones conocidas, pueden obtenerse otras soluciones...