Termodinamica

L´
ımite de Funciones-Continuidad-Definici´n Derivada
o
Margarita Urrutia Rodr´
ıguez
e-mail : murrutir@uc.cl
Enero 2010

´
Indice general
´
0.1. OBSERVACION PRELIMINAR . . . . . . . .
0.2. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
0.3. L´
ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1. Definici´n l´
o ımite . . . . . . . . . . . .
0.3.2. Definici´n l´
o ımiteslaterales . . . . . . .
0.4. Algunos l´
ımites notables . . . . . . . . . . . .
0.5. Propiedades de los l´
ımites de funciones . . . .
0.6. L´
ımites al infinito o en el infinito . . . . . . .
0.7. L´
ımite: ¿cu´ndo no exite? . . . . . . . . . . .
a
0.8. As´
ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.9. Otros l´
ımites notables . . . . . . . . . . . . .
0.10. Continuidad . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
0.10.1. Propiedades de las funciones continuas
0.1.

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8
8

´
OBSERVACION PRELIMINAR

Estos apuntes tienen solamente el objetivo de orientar el estudio y no est´n
a
exentos de error, como todo lo humano. Es absolutamente recomendable que el
estudiante investigue en libros y logre hacer operativos
los conceptos.Es decir comprender los conceptos, m´s all´ de la operatoa
a
ria mec´nica y resolver problemas.
a

0.2.

Introducci´n
o

Observaci´n:Nos interesa el comportamiento de una funci´n en la cercan´a,
o
o
ı
en una vecindad o un entorno de un punto. Vamos a investigar algunas funciones
para buscar respuestas a nuestras interrogantes. Ejercicios en clases.

1

L´
ımites-ContinuidadC´lculo
a

0.3.

L´
ımite de funciones

Observaci´n: Retomamos el concepto de cercan´a: Hab´
o
ı
ıamos comentado anteriormente para la funci´n f (x) = 4x + 3 que si x est´ cerca de −1 los valores
o
a
de f est´n cerca de −1.
a
M´s a´n, es posible hacer que los valores de f (x) est´n tan cerca como queramos
au
e
de −1, simplemente asegur´ndonos que x este suficientemente cerca de−1.
a
Por ejemplo si queremos que los valores de f (x) est´n a una distancia menor
e
1
que 100 de −1, es decir que:
1
1
1
|f (x)−(−1)| = |4x+3+1| < 100 → −1, 0025 = − 400 −1 < x < 400 −1 = −0, 9975.
As´ podemos sospechar que el l´mite de f (x) es −1, si x est´ cerca de −1.
ı
ı
a

0.3.1.

Definici´n l´
o ımite

Definici´n: Intuitiva Sea la funci´n f : Dom f → R, l´ f (x) = L
oo
ım
x→ a
Cualquier exigencia de cercan´ de valor de f a L, se puede satisfacer si x no
ıa
se aleja de a m´s de la cantidad dada por la exiguencia de cercan´
a
ıa.
O bien podemos decir que los valores de f (x) est´n tan cerca como queramos
e
de L, simplemente asegur´ndonos que x este suficientemente cerca de a.
a
Note: Para existencia del l´
ımite no es necesario que funci´n f estedefinida en
o
a.
Definici´n: Formal Sea la funci´n f : Dom f → R, l´ f (x) = L s´ y s´lo
o
o
ım
ı
o
x→ a
s´ para cada > 0, existe δ > 0 tal que para cada x ∈ Dom f :
ı
0 < |x − a| < δ → |f (x) − L| <
Observaci´n
o
1. |f (x) − L| < ⇔ L − < f (x) < L +

Enero 2010 Prof.Margarita Urrutia Rodr´
ıguez

2

L´
ımites-Continuidad

C´lculo
a

2. 0 < |x − a| < δ ⇔ a − δ < x < a + δ ,pero x = a
3. El intervalo ]a − δ, a + δ [−{a} se llama vecindad reducida de a,
Vδ (a) =]a − δ, a + δ [−{a}
Teorema: Si el l´
ımite l´ f (x) existe, entonces es unico.
ım
´
x→ a

0.3.2.

Definici´n l´
o ımites laterales

Definici´n: L´mite por la izquierda
o
ı
Sea la funci´n f : Dom f → R, l´ − f (x) =
o
ım
x→ a

l´
ım

x→ a, x 0, existe δ > 0 tal que para cada x ∈ Dom f...