Termodinamica

Termodinámica:
Consideremos la atmósfera terrestre como un gas ideal de peso molecular μ en un campo gravitatorio uniforme de intensidad g constante. a) si z designa la altura sobre el nivel delmar, demostrar que la variación de la presión atmosférica p con la altura viene dada por :

siendo T la temperatura absoluta a la altura z. 

b) si la disminución de la presión en a) se debe a unaexpansión adiabática, demostrar que :

c)A partir de a) y b), calcular dT/dz en grados por kilómetro. Suponer que la atmósfera está compuesta en su mayor parte de N 2 , en cuyo caso, el valor para elíndice adiabático, γ , es 1,4. 

d) En una atmósfera isotérmica a temperatura T, expresar la presión p a la altura z, en función de la presión a la altura z = 0. 

e) Si T 0 es la temperatura alnivel del mar, determinar p para una atmósfera adiabática como en b).
Solución:
Consideremos la ecuación fundamental de la hidrostática dp = - ρ·g·dz siendo ρ la densidad del aire. Teniendo en cuentatambién la ecuación de estado de los gases perfectos, resulta :

y sustituyendo el valor de ρ en la anterior ecuación :

Según el primer principio de la termodinámica, para un gas ideal en unproceso adiabático, se tiene : 

δQ = dU + pdV = CvdT + pdV
Teniendo en cuenta la ecuación de los gases perfectos, podemos hacer : 

p·V = n·RT    ;    p·dV + V·dp = n·R·dT ⇒ p·dV = n·R·dT - V·dp
y,por tanto : 

CvdT + p·dV = CvdT + n·RdT - V·dp = (Cv + nR)dT - V·dp = 0

Pero teniendo en cuenta la relación de Mayer , C p – C v = n.R y el valor de V según la ecuación de los gases perfectos,nos queda :

Teniendo en cuenta que el índice adiabático, γ , se define mediante el cociente C p /C v , podemos hacer la siguiente transformación :

y sustituyendo en la anterior expresión :Tomando las dos ecuaciones anteriores que nos dan el valor (dp/p) podemos escribir :

El signo negativo de la ecuación nos indica que para el caso que estamos tratando, la temperatura disminuye con...