TERNAS PITAGORICAS 1

TERNAS PITAGORICAS

El problema de las ternas pitagóricas es:

Como encontrar todos los triángulos rectángulos con lados  A, B y C todos
ellos números enteros?
                              

Esteproblema fue resuelto por Diofanto
aunque parece que la solución ya era
conocida por los babilonios mucho
antes.
Recordemos que el teorema de Pitágoras
nos dice que para que exista un triángulo
deesta
forma se tiene2 que 2cumplir
2 que:

A  B C

O sea que la pregunta se transforma
en: ¿que números A y B enteros
cumplen que la suma de sus cuadrados
es un cuadrado? 

Por ejemplo
A=1
B=2

La sumade sus cuadrados no es un cuadrado
Ahora,
A=3
B=4
La suma de sus cuadrados es 25 que es 5 al cuadrado

A una solución (A,B,C) se la llama
una terna pitagórica. Muchos
ejemplos de ternas pitagóricasya
eran conocidos por los babilonios:
(3,4,5)
,
(6,8,10)
,
(5,12,13),
......................,
(4961,6480,8161),........

Una terna pitagórica
primitiva es aquella
cuyo m.c.d de los
tres elementos es1.

Supongamos que (A,B,C) es
primitiva Entonces no puede ser
que exista un número D>1 que
divida a A y B y no divida a C, ya
2
2
2
A

B

C
que si D divide a A y B, entonces D
divide a 
, y por lotanto
D divide a C.

Es suficiente buscar que en (A,B,C)
sus elementos son primos relativos
dos a dos.

Por lo tanto,

• No pueden ser pares los tres elementos, ni
siquiera dos de ellos. si A y B sonpares
entonces C también seria par y la terna no seria
primitiva.
•A y B no pueden ser ambos impares pues sus
cuadrados serian de la forma 2k+1 y la suma de
ambos seria de la forma 2j con j impar, locual es
imposible para el cuadrado de C que debería ser
múltiplo de 4.(2 dividiría a C y 4 dividiría a C)
•Debe haber dos impares y uno par.

Sean (A,B,C) supongamos que A es par y B es impar

2

22

2

2

2

A  B C
A C  B

A2 (C  B )(C  B )
Existen m,n,q talque A=2m, C-B=2n, C+B=2q
A2 C 2  B 2 (C  B)(C  B)

 2m 

2

(2n)(2q )

m 2 nq

Entonces n y q son cuadrados, por
...