Ternas pitagóricas
Páginas: 19 (4563 palabras)
Publicado: 30 de julio de 2010
Artículo
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 9, No 2. 2009
Ternas pitagóricas: métodos para generarlas y algunas curiosidades
Juan José Fallas.
jfallas@itcr.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de de Costa Rica
Resumen
Este artículo presenta cuatro métodos para generar ternas pitagóricas. Entre ellos, se analizará elmétodo de Diofanto y el método de las dos fracciones. Además, se exponen cuatro curiosidades sobre este interesante tema. Palabras claves: métodos para generar ternas pitagóricas.
1.1
Introducción
Este artículo muestra algunos de los métodos que permiten generar ternas pitagóricas, además de algunos resultados interesantes sobre este tema. Los métodos que se abordarán son: el de Diofanto, elde las dos fracciones y los números de Fibonacci. A una terna de números naturales (a, b, c) que satisface la ecuación a2 + b2 = c2 se le llama una terna pitagórica. Al correspondiente triángulo rectángulo de catetos con medidas a y b e hipotenusa con medida c se le llama triángulo pitagórico. El estudio de las ternas pitagóricas comenzó antes, incluso, de la época de Pitágoras (Siglo VI a.C.).Se han encontrado tablas babilónicas que contienen algunas de estas ternas, lo cual
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Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 9, No 2. , 2009.
sugiere que los Babilonios tenían algún método para generarlas. Inclusive, existe evidencia de su uso en el antiguo Egipto para generar ángulos rectos, los cuales eran utilizados en pequeñasconstrucciones.
Hoy en día, a pesar de que las ternas pitagóricas no tienen mucha importancia para generar resultados aplicables a la vida cotidiana, su estudio se justifica por la variedad de proposiciones matemáticas que existen sobre ellas. Es realmente sorprendente la cantidad y la belleza matemática de estas proposiciones, respecto a esto, la Brown University (2008) menciona:
Hay una buenarazón para estudiar las ternas pitagóricas, y es la misma razón por la cual vale la pena estudiar el arte de Rembrandt y la música de Beethoven. Hay una belleza en la forma en que los números interactúan con otros, de la misma forma en que hay algo bello en la composición de una pintura o de una sinfonía. Para apreciar esta belleza uno tiene que estar dispuesto a gastar cierta cantidad de energíamental, pero al final vale la pena el esfuerzo.
1.2
El método de Diofanto
El problema número ocho del libro II de la Arithmetica de Diofanto plantea: descomponer un cuadrado en dos cuadrados. Como lo indica Benito (2004), Diofanto resuelve este problema siguiendo un razonamiento semejante al siguiente:
Suponga que se quiere descomponer el número 16 en dos cuadrados. Siendo x2 el primernúmero, entonces el segundo debe ser 16 − x2 , el cual también debe ser un cuadrado. Es decir, 16 − x2 = y2 . Luego, Diofanto identifica al número y2 con una expresión del tipo 2 √ mx − 16 con m un número racional mayor que uno (el cuadrado de un conjunto formado por los "múltiplos" de x disminuidos en la raíz de 16). Por lo tanto:
Ternas pitagóricas: métodos para generarlas y algunas curiosidades.Juan José Fallas. Derechos Reservados © 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 9, No 2. , 2009.
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√ y2 = 16 − x2 = mx − 16 =⇒ 16 − x2 = (mx − 4)2 De esta igualdad se tiene que:
2
16 − x2 = m2 x2 − 8mx + 16 =⇒ 8mx = m2 x2 + x2 =⇒ 8mx = x2 m2 + 1Como x > 0 entonces se tiene: 8m 8m = x =⇒ y2 = 16 − 2 +1 2 +1 m m Como y > 0 y m > 1 se tiene: y= 4 m2 − 1 m2 + 1
2
=⇒ y2 =
16 m2 − 1
2
(m2 + 1)2
Resumiendo, el número 16 se puede descomponer como: 16 = x + y =⇒ 16 = por ejemplo, para m = 2 se tiene: 16 = para m = 3 : 16 = 12 5
2 2 2
8m m2 + 1
2
+
4 m2 − 1 m2 + 1
2
16 5
2
+
12 5
2
+
16 5...
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 9, No 2. 2009
Ternas pitagóricas: métodos para generarlas y algunas curiosidades
Juan José Fallas.
jfallas@itcr.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de de Costa Rica
Resumen
Este artículo presenta cuatro métodos para generar ternas pitagóricas. Entre ellos, se analizará elmétodo de Diofanto y el método de las dos fracciones. Además, se exponen cuatro curiosidades sobre este interesante tema. Palabras claves: métodos para generar ternas pitagóricas.
1.1
Introducción
Este artículo muestra algunos de los métodos que permiten generar ternas pitagóricas, además de algunos resultados interesantes sobre este tema. Los métodos que se abordarán son: el de Diofanto, elde las dos fracciones y los números de Fibonacci. A una terna de números naturales (a, b, c) que satisface la ecuación a2 + b2 = c2 se le llama una terna pitagórica. Al correspondiente triángulo rectángulo de catetos con medidas a y b e hipotenusa con medida c se le llama triángulo pitagórico. El estudio de las ternas pitagóricas comenzó antes, incluso, de la época de Pitágoras (Siglo VI a.C.).Se han encontrado tablas babilónicas que contienen algunas de estas ternas, lo cual
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Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 9, No 2. , 2009.
sugiere que los Babilonios tenían algún método para generarlas. Inclusive, existe evidencia de su uso en el antiguo Egipto para generar ángulos rectos, los cuales eran utilizados en pequeñasconstrucciones.
Hoy en día, a pesar de que las ternas pitagóricas no tienen mucha importancia para generar resultados aplicables a la vida cotidiana, su estudio se justifica por la variedad de proposiciones matemáticas que existen sobre ellas. Es realmente sorprendente la cantidad y la belleza matemática de estas proposiciones, respecto a esto, la Brown University (2008) menciona:
Hay una buenarazón para estudiar las ternas pitagóricas, y es la misma razón por la cual vale la pena estudiar el arte de Rembrandt y la música de Beethoven. Hay una belleza en la forma en que los números interactúan con otros, de la misma forma en que hay algo bello en la composición de una pintura o de una sinfonía. Para apreciar esta belleza uno tiene que estar dispuesto a gastar cierta cantidad de energíamental, pero al final vale la pena el esfuerzo.
1.2
El método de Diofanto
El problema número ocho del libro II de la Arithmetica de Diofanto plantea: descomponer un cuadrado en dos cuadrados. Como lo indica Benito (2004), Diofanto resuelve este problema siguiendo un razonamiento semejante al siguiente:
Suponga que se quiere descomponer el número 16 en dos cuadrados. Siendo x2 el primernúmero, entonces el segundo debe ser 16 − x2 , el cual también debe ser un cuadrado. Es decir, 16 − x2 = y2 . Luego, Diofanto identifica al número y2 con una expresión del tipo 2 √ mx − 16 con m un número racional mayor que uno (el cuadrado de un conjunto formado por los "múltiplos" de x disminuidos en la raíz de 16). Por lo tanto:
Ternas pitagóricas: métodos para generarlas y algunas curiosidades.Juan José Fallas. Derechos Reservados © 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 9, No 2. , 2009.
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√ y2 = 16 − x2 = mx − 16 =⇒ 16 − x2 = (mx − 4)2 De esta igualdad se tiene que:
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16 − x2 = m2 x2 − 8mx + 16 =⇒ 8mx = m2 x2 + x2 =⇒ 8mx = x2 m2 + 1Como x > 0 entonces se tiene: 8m 8m = x =⇒ y2 = 16 − 2 +1 2 +1 m m Como y > 0 y m > 1 se tiene: y= 4 m2 − 1 m2 + 1
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=⇒ y2 =
16 m2 − 1
2
(m2 + 1)2
Resumiendo, el número 16 se puede descomponer como: 16 = x + y =⇒ 16 = por ejemplo, para m = 2 se tiene: 16 = para m = 3 : 16 = 12 5
2 2 2
8m m2 + 1
2
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4 m2 − 1 m2 + 1
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16 5
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12 5
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