Tería de las Sucesiones - Bachiller - Matemáticas

Tema 2 – Sucesiones – Matemáticas I – 1º Bachillerato.

1

TEMA 2 – SUCESIONES
2.1 – CONCEPTO DE SUCESIÓN
DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que
se puedan numerar: primero, segundo, tercero,....
Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante
una letra con los subíndices correspondientes a loslugares que ocupan en la sucesión:
a1, a2, a3, ....
TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con an, al término que
representa uno cualquiera de ella.
-

Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula:
an = f(n). Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término correspondiente.
En otras sucesiones, para hallarun término es necesario operar con dos o más de los
anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay
que obtener, previamente, todos los anteriores.

2.2 – ALGUNAS SUCESIONES IMPORTANTES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Definición: Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada
término al siguiente sumando una cantidad fija, llamada diferenciade la progresión.
Término general, an, de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya
diferencia es d se obtiene así: an = a1 + (n-1)d
Suma de los n-primeros términos de una progresión aritmética es:
(a + a n )n
Sn = a1 + a2 + .... + an = 1
2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Definición: Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada
término al siguientemultiplicando por una cantidad fija, llamada razón de la
progresión.
Término general, an, de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya
razón es r se obtiene así: an = a1.rn-1

Tema 2 – Sucesiones – Matemáticas I – 1º Bachillerato.

2

Suma de los n-primeros términos de una progresión geométrica con r ≠ 1 es:
a .r − a 1 a 1 .r n − a 1
=
Sn = a1 + a2 + .... + an = n
r −1
r−1
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica en la que |r| < 1 es:
a
S∞ = 1
1− r
SUCESIONES DE POTENCIAS
Nos encontramos con frecuencia sucesiones del tipo 1m, 2m, 3m,...., nm
(Cuadrados, cubos, raíces). Son especialmente importantes:
n.(n + 1).(2n + 1)
- La suma de los n primeros cuadrados: 12 + 22 + .... + n2 =
6
2
2
n .(n + 1)
- La suma de los n primeros cubos: 13 + 23+ .... + n3 =
4

SUCESIÓN DE FIBONACCI
La sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente donde cada término se
obtiene sumando los dos anteriores:
a2 = 1
an = an-2 + an-1
a1 = 1

CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN
Progresión aritmética : es una sucesión numérica en la que cada término es igual al
anterior más la diferencia. Designando por d a dicha diferencia: an = a1 + (n- 1).d
Progresión geométrica : es una sucesión numérica en la que cada término es igual al
anterior por la razón, que designamos por r: an = a1.rn-1
Sucesiones especiales:
- Números pares: 2, 4, 6, 8, 10, .....
- Números impares : 1, 3, 5, 7, 9, ....
- Los cuadrados : 1, 4, 9, 16, 25, ....
- Los cubos: 1, 8, 27, 81, 125, ....
- Potencias: 2, 4, 8, 16,......
- Sucesiones que cambian designo:
-1, 1, -1, 1, -1, ......
1, -1, 1, -1, 1, .....

an = 2n
an = 2n - 1
an = n2
an = n3
an = 2n
an = (-1)n
an = (-1)n+1 = (-1)n-1

Planteando un sistema : Ir calculando la diferencia entre los términos consecutivos de
la sucesión hasta que esta diferencia sea constante. El número de veces que tenga que
realizar lo anterior me da el grado de la sucesión. Planteando luego un sistemade
ecuaciones obtendré el término general.
Nota : En el caso de tener que calcular el término general de una fracción: Numerador
por un lado y denominador por otro.

Tema 2 – Sucesiones – Matemáticas I – 1º Bachillerato.

3

2.3 – LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ALGUNAS SUCESIONES
Para representar una sucesión vamos calculando sus términos y los
representamos en...