Teselaciones

Teselaciones

1.

Uno podr´ comenzar observando que alıa gunas de las figuras encajan bien en ciertas Consideremos el siguiente rompecabezas. partes de la regi´n. Sin embargo, la soluci´n o o El objetivo es cubrir la regi´n o s´lo puede hallarse por ensayo y error. o
4 5 6 1 7 2 3

Introducci´n. o

usando las siguientes siete figuras.

Por esta raz´n, aunque este es un rompeo cabezasdivertido, no es muy interesante matem´ticamente. a

Este es un ejemplo de un problema de teselaci´n. Una teselaci´n es un recubrimiento o o 4 2 3 de una regi´n dada usando un conjunto de fio guras dado, sin sobreposici´n alguna. Por suo puesto, enfocaremos nuestra atenci´n en reo 6 7 giones y figuras espec´ ıficas que nos llevar´n a 5 a problemas matem´ticos interesantes. a Dada una regi´n y unconjunto de figuo La regi´n debe cubrirse completamente sin ras, existen muchas preguntas que podemos o ninguna sobreposici´n. Se permite desplazar hacernos. Algunas de las preguntas que trao o rotar las 7 figuras de cualquier forma, pero taremos son las siguientes: cada pieza debe ser usada exactamente una ¿Existe una teselaci´n? o
1

¿Cu´ntas teselaciones existen? a ¿Cu´ntas teselaciones existenaproximaa damente? ¿Es f´cil hallar una teselaci´n? a o ¿Es f´cil probar que no existe una tesea laci´n? o ¿Es f´cil convencer a alguien de que no a existe una teselaci´n? o 1

¿C´mo es una teselaci´n “t´ o o ıpica”? ¿Existen relaciones entre las diferentes teselaciones? ¿Es posible encontrar una teselaci´n con o propiedades especiales, tales como ciertos tipos de simetr´ ıa?

2.

¿Existe unateselaci´n? o

Al observar el conjunto de figuras y la regi´n que queremos cubrir, no siempre es claro o cuando dicha tarea es posible. El rompecabezas de la Secci´n 1 ejemplifica esa situaci´n. o o Consideremos un rompecabezas similar, donde el conjunto de figuras es m´s interesante a matem´ticamente. a

si rotamos la regi´n sombreada 180◦ . De heo cho, despu´s de un tiempo tratando de hallar euna teselaci´n, uno descubre que estas (juno to con sus rotaciones y reflexiones) son las unicas dos soluciones posibles. ´ Uno tambi´n podr´ preguntarse si es poe ıa sible teselar dos rect´ngulos de 6 × 5 usando a cada pentomin´ exactamente una vez. Una o forma de hacerlo se muestra abajo. Existe una sola teselaci´n posible distinta de ´sta, o e que se obtiene reacomodando dos de los pentomin´s;es un buen acertijo para el lector o encontrar esas dos figuras.

Sabiendo eso, uno podr´ suponer que ıa existen varias teselaciones de un rect´ngulo a de 6 × 10 usando los doce pentomin´s. No o obstante, es dif´ predecir cu´ntas existen. ıcil a Una b´squeda computacional exhaustiva enu contr´ que hay 2339 teselaciones de ese tipo. o Estas preguntas sugieren rombecabezas llamativos, pero no son laclase de problemas matem´ticos interesantes que estamos a buscando. Para ilustrar lo que queremos decir, consideremos un problema que superfiUn pentomin´ es una colecci´n de cinco cialmente es similar, pero que es m´s cercano o o a cuadrados unitarios, unidos con lados coinci- al razonamiento matem´tico. a dentes. Los pentomin´s se pueden trasladar, o Supongamos que removemos dos esquinas rotar, ovoltear libremente. La figura muestra los doce pentomin´s diferentes. Como su opuestas de un tablero de ajedrez de 8 × 8, y o a ´rea total es 60, podemos preguntarnos, por nos preguntamos: ¿Es posible teselar la figuo ejemplo: ¿Es posible teselar un rect´ngulo de ra resultante con 31 domin´s? a 3×20 usando cada uno de ellos una vez exactamente?

Este rompecabezas se puede resolver por lo menos dedos maneras. Una soluci´n se mueso tra arriba. Una soluci´n diferente se obtiene o 2

Nuestro tablero no ser´ de ajedrez si sus ıa

celdas no estuvieran coloreadas alternadamente de blanco y negro. Esta coloraci´n reo sulta ser crucial a la hora de responder nuestra pregunta.

Notemos que, sin importar d´nde se pono ga, un domin´ cubrir´ un cuadrado blanco y o a uno negro del tablero....