tesina

Universidad Nacional Autónoma de México
POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIAS

Introducción a las Acciones por Isometrías

T E S I N A
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
PRESENTA:
Jesús Ángel Núñez Zimbrón

DIRECTOR DE TESINA:
Dr. Oscar Alfredo Palmas Velasco

2011

Índice general
Introducción
1. Elementos Previos

1.1. Propiedades Básicas delas Acciones Diferenciables . . . . . .
1.2. Los Teoremas de la Rebanada y de la Órbita Principal . . . .

iii

1

1
7

2. Acciones por Isometrías

13

Bibliografía

20

2.1. Denición y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. El Teorema de Hsiang-Kleiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ii

ÍNDICE GENERAL

Introducción
El problema declasicación de objetos, es un problema fundamental en
casi cualquier teoría matemática. Ya sea en la teoría de grupos, en álgebra, o
en variedades, en geometría, el dar una clasicación no trivial, constituye un
gran avance que por lo general tiene consecuencias muy agradables de gran
alcance. En el segundo caso mencionado, el de la geometría (diferencial),
una primer clasicación está dada por ladimensión que tiene la variedad.
En efecto, dos variedades no pueden ser difeomorfas si tienen dimensiones
distintas. Sin embargo, en principio, la dimensión no dice mucho más. Se
necesita encontrar invariantes de distintos índoles (topológicos, diferenciables, topológico-algebraicos) para distinguir varios tipos de variedades.
Ya se han clasicado exitosamente las variedades de dimensión 1 y2, y
recientemente el trabajo de Grigori Perel'man, resultó en una de las clasicaciones más sensatas de las variedades (compactas) de dimensión 3. En la
actualidad, se busca clasicar las variedades de dimensión 4. Este problema
es extremadamente difícil. Se ha encontrado que tan sólo analizar el aspecto
de la curvatura seccional de dichas variedades es una tarea formidable. Por
otra parte,sin hacer suposiciones de ningún tipo, parece que todavía no tenemos las herramientas necesarias para entenderlas. Como ejemplo de esto,
está la famosa conjetura de Hopf que propone el problema de investigar si
S2 × S2 admite métricas riemannianas de curvatura seccional estrictamente
positiva en todos sus puntos.
Se tienen algunos teoremas clásicos como el de Bonnet-Myers y Synge
en estadirección, pero con técnicas clásicas no se pudieron generalizar estos
resultados para llegar a una clasicación. Fue hasta 1991, que Karsten Grove
propuso agregar suposiciones a las variedades que se estudian para tratar de
obtener nuevos ejemplos y buscar un camino hacia una clasicación. Él propuso estudiar variedades de curvatura seccional positiva (o en algunos casos
no-negativa) con un grupogrande de isometrías. Parte de la motivación de

iv

Introducción

Grove, es el teorema que bosquejaremos en la ultima sección de este trabajo.
Nuestro objetivo será desarrollar algunas propiedades básicas de los grupos de transformación, que son la herramienta en la que está propuesto el
programa de Grove. De ninguna manera tratamos de ser extensivos y este
trabajo tampoco contienetodo el material del tema. Haremos una introducción asumiendo que el lector está familiarizado con los grupos de Lie, los
conceptos básicos de las variedades diferenciables y las acciones de grupos
diferenciables (o como mínimo, topológicos).
En el capítulo 1, obtenemos propiedades básicas de los grupos de transformación y demostramos dos de los teoremas más importantes en esta área:
El de laRebanada y el de la Órbita Principal. Posteriormente a manera
de ilustración, en el capítulo 2 introducimos los grupos de transformación
riemannianos y bosquejamos la prueba del teorema de Hsiang-Kleiner. Por
razones de espacio, se han omitido las demostraciones de muchos resultados,
siempre tratando de que los mismos tengan pruebas fáciles, y siempre damos
referencias para que el lector pueda...