Tesis

CAPÍTULO 4

LA DERIVADA POR FÓRMULAS

4.1 FÓRMULAS (Áreas 1, 2 y 3) Obtener la derivada de cualquier función por alguno de los dos métodos vistos anteriormente, el de tabulaciones y el de incrementos, resulta una tarea muy engorrosa, por lo que es preferible tener fórmulas para su cálculo. Para comprender el significado simbólico de las fórmulas, el estudiante debe recordar que el símbolo deun operador es el grafo o representación escrita con el que se hace alusión a la operación. Así por ejemplo, a continuación se muestran diferentes operadores conocidos: + × ÷ operador suma operador multiplicación operador división operador raíz cuadrada
d . Así como en el operador suma, como dx

De la misma manera, el operador derivada es

en el de multiplicación y división, para que tengasentido debe escribirse una cantidad antes y otra después, o bien, en el operador raíz cuadrada debe escribirse una cantidad adentro para indicar a qué cantidad se le está sacando raíz, en el operador derivada lo que se escribe a continua-

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La derivada por fórmulas

ción de dicho operador es a lo que se le aplica la derivada, aunque a veces se escribe en el mismo numerador cuando es unaexpresión muy corta. Analícense los siguientes ejemplos del uso del operador derivada:

d x dx

El operador derivada se está aplicando a x. Por ser una expresión muy corta se prefiere escribir la x en el numerador de la siguiente manera:
dx . dx

d dx

2x − 1

El operador derivada se está aplicando a la raíz cuadrada

2x − 1 .

d ( 3x 4 + 5 x3 − 8 x 2 + 9 x − 11) dx

(El operadorderivada está aplicado al polinomio).

d ⎛ 3x − 4 ⎞ ⎜ ⎟ dx ⎝ 6 x 2 − 1 ⎠ d sen ( 3x 2 − 2 ) dx
4 d ( 3x5 − 1) dx

(El operador derivada está aplicado a la fracción).

(El operador derivada está aplicado a la función trigonométrica seno). (El operador derivada está aplicado a todo el polinomio elevado a la cuarta potencia).

El estudio de la derivada a través de fórmulas se hará porbloques:

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a) b)

Fórmulas básicas. Fórmulas generalizadas: b.1) Para funciones algebraicas: b.1.1) de la forma un (potencia), b.1.2) de la forma uv (producto), b.1.3) de la forma u/v (cociente). b.2) Para funciones trascendentes: b.2.1) funciones trigonométricas, b.2.2) funciones trigonométricas inversas, b.2.3) funciones logarítmicas y exponenciales.

4.2FÓRMULAS BÁSICAS (Áreas 1, 2 y 3)

(1)

d c=0 dx d x =1 dx d n x = nx n −1 dx

(la derivada de una constante es cero)

(2)

(la derivada de x es 1)

(3)

(4)

d d d u+ v + ... ( u + v + ...) = dx dx dx d du cu = c dx dx

(La derivada de una suma es la suma de las derivadas).

(5)

(La derivada de una constante por una función es la constante por el resultado de derivar la función. Sedice que la constante se saca de la derivación).

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La derivada por fórmulas

Ejemplo 1: Hallar la derivada de y = x 6 . Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros:

d d 6 y= x dx dx
En el lado derecho, empleando la fórmula (3), donde n = 6 :

dy = 6xdx

6 −1

n x

n-1

dy = 6 x5 dx

Ejemplo 2: Hallar la derivada de y = 5 x 3 . Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros:

d d 5 x3 y= dx dx
Empleando primero la fórmula (5) en el lado derecho de la igualdad anterior:

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La derivada porfórmulas

dy = 5 dx

d 3 x dx

c

du dx

Ahora utilizando la fórmula (3), donde n = 3 :

dy = 5 ( 3 x 3 −1 ) dx
dy = 15 x 2 dx

Obsérvese que ya en forma práctica, el 15 se obtiene de multiplicar el coeficiente 5 por el exponente de la x.

Ejemplo 3: Calcular la derivada de y = 4 x . Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que...