Tesis

Relaci´n entre los Procesos
o
de Ramificaci´n y los Procesos
o
de L´vy
e

´
Indice general
Introducci´n.
o

III

1. El Proceso de Ramificaci´n de Galton-Watson.
o
1.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2. Definici´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.3. Descripci´n matem´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
1.4.La Funci´n Generadora para el Proceso de Ramificaci´n.
o
o
1.5. Los Momentos de Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. La Probabilidad de Extinci´n. . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. El Proceso Markoviano de Ramificaci´n aTiempo Continuo
o
2.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2. Definici´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.3. Construcci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.4. Las Ecuaciones Backward y Forward de Kolmogorov . . . . .
2.5. Funci´n Generadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.6.Existencia y Unicidad de las Soluciones. . . . . . . . . . . . .
2.7. Hip´tesis de no explosi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
2.8. Los Momentos de Z(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Probabilidad de Extinci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29
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31
34
37
44
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5156
59

3. El C.B. Proceso
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.2. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.3. Existencia y Construcci´n del C.B. proceso
o
3.4. Los Momentos del C.B. Proceso . . . . . .

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63
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INDICE GENERAL

II

3.5. El C.B. Proceso como Proceso
3.6. Probabilidad de Extinci´n . .
o
3.7. El C.B. Proceso como Proceso
3.7.1. Distribuciones L´
ımite .
3.7.2. Teoremas L´
ımite . . .

de Difusi´n.
o
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L´
ımite . . .
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4. Relaci´n entre los P.de Ramificaci´n y los P. de
o
o
4.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. El C.B.P. y el P. de L´vy con saltos no negativos
e

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81
89

L´vy
e
107
. . . . . . . 107
. . .. . . . 107
. . . . . . . 109

A. Procesos de Markov.
A.1. Funci´n de Transici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
A.2. Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Procesos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113
. 113
. 114
. 117

B. Procesos de L´vy
e
121
B.1. Definici´n y algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . .. . 121
o
B.2. Procesos de L´vy con saltos no negativos. . . . . . . . . . . . . 123
e
Bibliograf´
ıa

127

Introducci´n
o
En este trabajo se estudian los procesos de ramificaci´n y la relaci´n de
o
o
estos con los procesos de L´vy, nuestro objetivo principal es el de presentar
e
de manera detallada dicha relaci´n, ya que pocos libros b´sicos mencionan
o
a
esto. Esta relaci´nes importantisima ya que es el pre´mbulo del estudio de
o
a
los superprocesos.
Hay una manera de clasificar a los procesos de ramificaci´n de acuerdo
o
con su condici´n cr´
o
ıtica, su par´metro del tiempo, el caso sencillo o mula
tiple de part´
ıculas, el caracter Markoviano o no Markoviano, etc. Nosotros
solamente nos limitamos al estudio del caso Markoviano y sencillo, pero en
cada...