Test de condición física

UNITAT 7: VECTORS EN EL PLA

ÍNDEX
7.1. VECTORS FIXOS.
7.2. VECTORS LLIURES.
7.3. COMPONENTS CARTESIANES D’UN VECTOR LLIURE.
7.4. OPERACIONS AMB VECTORS.
7.5. MÒDUL D’UN VECTOR. DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS.
7.6. PRODUCTE ESCALAR DE DOS VECTORS. ANGLE DE DOS VECTORS.
7.7. PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT.
7.8. COMBINACIÓ LINEAL DE VECTORS. BASE DE VECTORS.

MATEMÀTIQUES I

2

UNITAT 7:VECTORS EN EL PLA
7.1. VECTORS FIXOS
DEF: Un vector fix AB és un segment orientat que té el seu origen en el punt A i l’extrem en el punt B.
B
Característiques d’un vector fix:

A

Mòdul → És la longitud del segment AB i ho representarem per AB
Direcció → És la recta sobre la que està situada el vector o qualsevol altra recta paral·lela.
Sentit → És el recorregut de la recta quan ensdesplacem des del punt A fins al B.

7.2. VECTORS LLIURES
DEF: Dos vectors fixos direm que són equipol·lents si tenen el mateix mòdul, direcció i sentit.
B
Ho escriurem AB = CD .
D
A
C
Aquesta relació d’equipol·lència ens permet fer una classificació dels vectors fixos. Donat un vector fix
qualsevol, agrupem tots els vectors que són equipol·lents a ell. Així, tenim un conjunt format per unvector i
els seus equipol·lents. Aquest conjunt s’anomena vector lliure.
Com anomenarem o representarem un vector lliure concret? Agafarem qualsevol vector del conjunt. Tot i
això, sol agafar-se l’anomenat vector canònic, que és aquell l’origen del qual es troba en l’origen de
coordenades.

7.3. COMPONENTS CARTESIANES D’UN VECTOR LLIURE
Tot vector lliure té associades unes coordenadesanomenades components cartesianes.
Com calcular-les?
Siga el vector d’origen A(x1,y1) i d’extrem B(x2,y2). Aleshores les components cartesianes del vector AB es
calculen restant les coordenades de l’extrem B amb les de l’origen A, és a dir,
AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 )

EX: Siga el vector AB on A(–2, 1) i B(3, 4).
a) Dibuixa el vector AB .
b) Dibuixa l’equipol·lent amb origen en l’origen decoordenades.
c) Calcula les components cartesianes del vector AB .
AB = extrem − origen =

d) Calcula les components del vector equipol·lent dibuixat. Què observes?

NOTA: Dos vectors equipol·lents tenen les mateixes components cartesianes.
Observeu que les components cartesianes d’un vector coincideixen amb les unitats que s’ha de desplaçar
des de l’origen fins l’extrem de forma horitzontal ivertical.

3

Unitat 7. Vectors en el pla.

7.4. OPERACIONS AMB VECTORS
A.- SUMA
GRÀFICAMENT: Siguen u i v dos vectors lliures. Per a calcular el vector suma u + v
1r. Situem l’origen de v coincidint amb l’extrem de u

u +v
v
u

2n. El vector que té origen en l’origen de u i extrem en l’extrem del v és el
vector suma u + v (Regla del paral·lelogram)

ANALÍTICAMENT: Siguen elsvectors u = ( x1 , y1 ) i v = ( x2 , y2 ) , aleshores u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
EX: Considera els vectors u = (2, 1) i v = (3,− 2) .
Calcula gràfica i analíticament el vector u + v .

B.- RESTA

u

GRÀFICAMENT: Siguen u i v dos vectors lliures. Calcular el vector u − v consisteix
en sumar-li a u el vector −v .

u −v

−v

ANALÍTICAMENT: Siguen els vectors u = ( x1 , y1 ) i v = (x2 , y2 ) , aleshores u − v = ( x1 − x2 , y1 − y2 )
EX: Siguen els vectors u = (1,− 2) i v = (3,−1) .
Calcula gràfica i analíticament el vector u − v .

C.- MULTIPLICACIÓ D’UN NOMBRE PER UN VECTOR
GRÀFICAMENT: Siga u un vector lliure i k∈ℝ, el vector k u té les següents característiques:
1) Té la mateixa direcció que el vector u
2) Si k > 0 tendrà el mateix sentit que u i si k < 0 tendràsentit contrari
ANALÍTICAMENT: Siga els vector lliure u = ( x, y ) i k∈ℝ, aleshores k u = ( kx,ky )
EX: Siga el vector u = (1,3) i k = 2.
Calcula gràfica i analíticament el vector k u

CONSEQÜÈNCIA: Dos vectors u = ( x1 , y1 ) i v = ( x2 , y2 ) són col·lineals o estan en la mateixa recta si v = k u
per a algun k∈ℝ, és a dir si les seues components són proporcionals

x1
y
= 1
x2 y 2...