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Algoritmo de la división
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En la aritmética el algoritmo de la división, también llamado división euclídea, es un teorema queafirma que para cualesquiera enteros D y d, llamados dividendo y divisor respectivamente, con d no nulo, existen enteros únicos c y r, llamados cociente y residuo respectivamente, tales que
| y | . |El algoritmo de la división es comúnmente representado con una figura similar a
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Por ejemplo
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lo que significa que , y además es claro que .
Porel algoritmo de la división se deduce que es un dominio euclídeo tomando como norma el valor absoluto. Una consecuencia inmediata del algoritmo de la división es que puede usarse el algoritmo deEuclides para calcular el máximo común divisor de dos números enteros.
Un concepto que generaliza el algoritmo de la división es el de norma euclídea. De este modo cualquier dominio euclídeo cumple con unprincipio similar al algoritmo de la división, como es el caso, por ejemplo, de un anillo de polinomios en que es un cuerpo.

Ejemplos
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otros

DemostraciónConsidérese el conjunto y de residuos mayores o iguales a cero. Este conjunto es no vacío, pues siempre es posible hacer cuando para una buena elección de x. Vemos pues que , de modo que R tiene un mínimo,digamos r. Supóngase que r = D − dc para cierto entero c. Tenemos que, al ser d no nulo,

(1)

Si fuera , se tendría , y como r = D − dc, sería , o sea

| o | , |

pero entonces , lo que,en vista de (1), contradice nuestra elección de r como el menor residuo en R. Ha de ser pues r < | d | , como afirma el algoritmo de la división.

Para probar la unicidad supóngase que D = dc + r= dc' + r'. Defínase si y si d < 0. De manera similar se define . Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que . De todo esto tenemos

,

Esto es, D < D, una contradicción, de modo que...