Testimonio De Constitucion

Soluci´n a Problemas de Olimpiadas de o Matem´tica a
Realizado por Estudiantes de la Carrera de Matem´tica a Abril de 2009 V Olimpiada Nacional de Matem´tica a Matletas 2007
1. Todos los n´meros del 19 al 80 son escritos uno despu´s del otro para u e formar el n´mero 192021. . . 7980. ¿Es este n´mero divisible entre 1980?. u u Explique su respuesta. Soluci´n: o El numeral debe ser de la forma:192021 . . . 7980 = 1980 · k ; k∈Z

No perdemos generalidad si polinomizamos la relaci´n: o 19 · 1062 + 20 · 1060 + . . . + 79 · 102 + 80 · 100 = 1980 · k
n

;

k∈Z

Veamos una interesante relaci´n de los 10 ; n = 2q ; 0 ≤ q ≤ 31 o 100 101 102 103 104 105 106 = 1980 · 0 + 1 = 1980 · k + 1 = 1980 · 0 + 10 = 1980 · k + 10 = 1980 · 0 + 100 = 1980 · k + 100 = 102 · 10 = (1980 · 0 + 100) · 10= 1980 · k1 + 1000 = 103 ·10 = (1980·k1 +1000)·10 = (1980·k2 +10000) = 1980·k3 +100 = 104 · 10 = (1980 · k3 + 100) · 10 = 1980 · k4 + 1000 = 105 ·10 = (1980·k4 +1000)·10 = (1980·k5 +10000) = 1980·k6 +100 . . . 10n = Entonces: 1980 · kr + 100 si n es par 1980 · ks + 1000 si n es impar

1

19(1980·q0 +100)+20(1980·q1 +100)+. . .+79(1980·q60 +100)+80 = 1980·k Operando: 1980 · r + (19 · 102 + 20· 102 + . . . + 79 · 102 ) + 80 = 1980 · k 1980 · r + 80 + 102 (19 + 20 + . . . + 79) = 1980 · k 1980 · r + 80 + 102 · (2989) = 1980 · k 1980 · r + 80 + 102 · (1980 + 1009) = 1980 · k 1980 · r + 80 + 1980 · 102 + 100900 = 1980 · k (r + 102 )(1980) + 80 + (1980 · 50 + 1900) = 1980 · k (r + 102 )(1980) + 1980 · 50 + 1980 = 1980 · k r + 102 + 50 + 1(1980) = 1980 · k 1980 · t = 1980 · k Por tanto:192021. . . 7980 es divisible entre 1980. 2. Tomando como unidad de superficie un cuadradito, calcule el ´rea del a tri´ngulo. a
t

de donde

t=k

Soluci´n: o

Sea k el ´rea del tri´ngulo HCE. a a Entonces: k = Area(ABCD) − (Area(AHE) + Area(HBC) + Area(ECD)) 2

k = 12cuadraditos − (3/2cuad. + 4cuad. + 3/2cuad.) k = 12cuadraditos − 7cuadraditos k = 5cuadraditos a 3. En esta suma cada letrarepresenta una cifra. ¿Cu´l es el valor del AGUA? GOTA GOTA GOTA GOTA AGUA

+

Soluci´n: o Seg´n la suma tenemos en el 4o igual que en el 1o d´ u ıgito de AGUA (Mal planteado). 4. Uniendo cubos de madera, cuya arista mide 1cm, se construye un prisma recto (un cubo alargado) cuya base es un rect´ngulo de dimensiones 4cm a por 5cm y cuya altura sea 3 cm. A continuaci´n se pintan sus caras de onegro y una vez que la pintura est´ seca, se desmonta el prisma descome poni´ndolo en cubos unidad de arista 1 cm. e (a) Complete la siguiente tabla: N´mero de cubos unidad que tienen pintada u 3 caras 2caras 1 cara 0 caras (b) Si se mantienen las dimensiones de la base y se varia la altura, ¿ es posible construir un prisma recto en el que el n´mero de cubos u unidad con cero caras pintadas fuesela cuarta parte del n´mero total u de cubos unidad? Soluci´n: o (a) 3 caras 8 2caras 24 1 cara 22 0 caras 6

(b) 0 caras = (5 − 2)(4 − 2)(k − 2) siendo k la altura 0 caras = 6k − 12 5·4·k = 6k − 12 ⇒ 5k = 6k − 12 ⇒ k = 12 4 5. Se construye la siguiente figura plana usando para cada lado un (´nico) u palito de f´sforo, en la figura adjunta se usaron 43 palitos y tiene 4 pisos. o ¿Con 701 palitos,cu´ntos pisos se pueden construir? a

3

a)18 Soluci´n: o

b)19

c)20

d)17

e)Ninguno

Podemos conjeturar de la siguiente manera: 4 palitos, 1 piso ⇒ 4 · 1 + (1 − 1)
palitos pisos

13 palitos, 2 pisos ⇒ 4 · 3 + (2 − 1) 26 palitos, 3 pisos ⇒ 4 · 6 + (3 − 1) 43 palitos, 4 pisos ⇒ 4 · 10 + (4 − 1) . . . n(n + 1) ) + (n − 1) 2

⇒ 4( Entonces: 4[

n(n + 1) ] + (n − 1) = 7012n2 + 2n+ n − 1 − 701 = 0 2

√ −3 ± 75 2n2 + 3n − 702 = 0 ⇒ n = −3± 9+8·702 = 4 4 n = 18 por lo que se puede construir 18 pisos.

a u u 6. ¿Cu´ntos n´meros naturales (sin el cero) menores a diez mil son m´ltiplos de nueve y estan formados exclusivamente por d´ ıgitos 2 y 3? a)4 Soluci´n: o ”Un numeral es m´ltiplo de nueve cuando la suma de sus cifras es un u m´ltiplo de nueve.” u De una cifra: Ni...