Tetaedro

Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.
Contenido [ocultar]  * 1 Propiedades geométricas * 2 Propiedadesmétricas * 2.1 Volumen * 2.2 Área * 2.3 Alturas del tetraedro * 3 Tetraedro regular * 4 Cálculo de dimensiones fundamentales * 4.1 Volumen, área y desarrollo * 4.2 Ángulos * 4.3 Propiedades particulares * 4.3.1 Simetría * 4.3.2 Conjugación * 4.3.3 Proyecciones * 4.3.4 Secciones * 4.3.5 Composición, descomposición ymaclado * 5 Tetraedros en la naturaleza y en la técnica * 6 Véase también * 7 Referencias * 8 Enlaces externos |
[editar] Propiedades geométricas

Tetraedro no regular.
En todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que:
* Los segmentos que unen los puntos medios de los tres pares de aristas opuestas son concurrentes en un punto, que los divide por su mitad.
* Los segmentos queunen cada vértice con los puntos de intersección de las medianas de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo (Teorema de Commandino).
* Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la esfera circunscritaal tetraedro.
* Las rectas perpendicularesa las caras por su circuncentroson concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.
* Los planos bisectoresde los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.
* Las alturas de un tetraedro sólo son concurrentes si las aristas opuestas son perpendiculares.
[editar] Propiedadesmétricas
[editar] Volumen
Existe una fórmula general para el cálculo del volumen de un tetraedro, sea o no regular, en función de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres de sus vértices A, B y C (supuesto el origen de coordenadas en el cuarto):

Esta fórmula también se puede escribir en términos de las coordenadas absolutas de los cuatro vértices el volumen de un tetrahedro irregularcualquiera viene dado por:

Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas, y y la distancia entre ambas , y es :

Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terraplén, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir dela longitud de su coronación , la longitud en la base , y su altura .
[editar] Área
El Área de un tetraedro es la siguiente:

donde Ac es el área de una de sus caras.
[editar] Alturas del tetraedro
Un tetraedro (no necesariamente regular) se define en ℝ3 conociendo las coordenadas de sus cuatro vértices, por ejemplo v1(x1, y1, z1), v2(x2, y2, z2), v3(x3, y3, z3) y v4(x4, y4, z4).Cualquiera desus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de la misma, cada una de las caras define un plano (plano por tres puntos) base de la altura que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se usó al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base esta definida por el triángulo formado por tres vérticescualquiera del mismo a los que llamaremos v2, v3 y v4 y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos v1.
Para calcular la altura que forma un vértice opuesto cualquiera con su cara base solo hay que poner los valores de dicho vértice opuesto en v1(x1, y1, z1) y después poner los valores de los tres vértices de la cara opuesta al mismo en v2(x2, y2, z2), v3(x3, y3, z3) y v4(x4, y4, z4),...