Tetraedro

Septiembre de 2008, Número 15, páginas 147-153 ISSN: 1815-0640

El rincón de los problemas
Uldarico Malaspina Jurado Pontificia Universidad Católica del Perú umalasp@pucp.edu.pe

Problema Dado un tetraedro regular cuyas aristas miden k cm, hallar la longitud del camino más corto sobre su superficie, que une los centros de dos caras del tetraedro.

B

A

• D

•

C

Este problemaha sido propuesto a estudiantes de secundaria, a universitarios de primer año de estudios de ingeniería, y a profesores de matemáticas de secundaria. Las dos formas de enfocar el problema, que acá comentamos, muestran aspectos interesantes de la geometría plana y del espacio, y de aproximaciones intuitivas a la determinación del camino más corto sobre una superficie no plana, cuyos extremos son dospuntos de ella. Una manera de presentarlo, graduando individualmente y en grupo, es la siguiente: Situación: Una hormiga se encuentra en el centro de una de las caras de un tetraedro regular, cuyas aristas miden 12 cm, y avanza sobre la superficie del tetraedro hasta alcanzar una gota de miel que se encuentra en el centro de otra de las caras del tetraedro dificultades para resolverlasUldarico Malaspina Jurado

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Actividad individual a. Describe el camino de longitud más corta que podría seguir la hormiga. b. Halla la longitud del camino descrito en la actividad anterior. Actividades grupales a. Decir cuáles fueron las longitudes de los caminos obtenidos por los integrantes del grupo. Escribir sólo los números obtenidos en la parte de actividadesindividuales. b. ¿Cuál es la respuesta del grupo sobre el camino más corto que puede seguir la hormiga? • Describirlo. • Decir cuál es su longitud. • Justificar e ilustrar por qué es el camino más corto. c. ¿Cuál sería la longitud del camino más corto que puede seguir la hormiga si las aristas del tetraedro miden k cm? d. Proponer y resolver (o exponer cómo se resolvería) un problema similar al resuelto,considerando otro par de puntos del tetraedro. e. Proponer y resolver (o exponer cómo se resolvería) un problema similar al resuelto, considerando otro cuerpo geométrico Comentarios 1. En las experiencias tenidas, básicamente hemos encontrado dos enfoques para resolver el problema (sin considerar las actividades grupales d y e): I) Imaginando la intersección de un plano paralelo a la base, quepase por los dos puntos.

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•H
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•M
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II) Examinando la situación en un desarrollo plano del tetraedro. El desarrollo plano más “natural” del tetraedro es el que tiene forma de triángulo equilátero.

B

•
A D

•
C

Otrodesarrollo plano del tetraedro es el que tiene forma de paralelogramo.

B

•
A D

•
C

2. Comentemos el primer enfoque: Supone cierta experiencia en la visión espacial, para ubicar bien la intersección del plano con las caras del tetraedro. En particular, la ubicación del punto de intersección con la arista BD, que lo estamos llamando Q.

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Aplicando teoremas básicos de la geometría del triángulo, se obtiene que la longitud del segmento HQ es 4 cm y por este resultado algunos participantes afirmaron que el camino más corto buscado tiene 8 cm de longitud, pues se obtiene recorriendo lossegmentos HQ y QM, ambos de 4 cm de longitud. 3. Comentemos el segundo enfoque: Consideremos el desarrollo plano que es un triángulo equilátero cuyos lados miden 24 cm. Una primera dificultad es la ubicación adecuada de los puntos del tetraedro en el desarrollo plano. Al obtener el triángulo equilátero “cortando” las aristas BA, BD y BC del tetraedro, obtenemos:

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C

.H
D

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