Teva

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La transformada de Laplace
2.1.
INTRODUCCION
EI metoda de la transformada de Laplace es un metodo operativo que aporta muchas ventajas
cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, se pueden convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones sinu-

soidales, las funciones sinusoidales amortiguadas y las funcionesexponenciales, en funciones algebraicas de una variable compleja s. Las operaciones tales como la diferenciaci6n y la integraci6n se sustituyen mediante operaciones algebraicas en el pIano complejo. Por tanto, una ecuaci6n diferenciallineal se puede transformar en una ecuaci6n algebraica, en la variable com-

pleja s. Si se resuelve la ecuaci6n algebraica en s para la variable dependiente,entonces la soluci6n de la ecuaci6n diferencial (la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente) se encuentra mediante una tabla de transformadas de Laplace 0 mediante una tecnica de desarrollo

en fracciones parciales, que se presenta en las Secciones 2.5 y 2.6.

Una ventaja del metodo de la transformada de Laplace es que permite el uso de tecnicas gnificas para predecir elcomportamiento del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Otra ventaja de este metoda consiste en que, cuando se resuelve la ecuaci6n diferencial, es po sible obtener simultaneamente tanto la componente transitoria como la estacionaria de la soluci6n.

Contenido del capitulo. La Secci6n 2.1 presenta unas notas de introducci6n. La Secci6n 2.2
revisa brevemente lasvariables y funciones complejas. La Secci6n 2.3 presenta la transformada

de Laplace de las funciones del tiempo que se usan con frecuencia en la ingenieria de control. La Secci6n 2.4 presenta teoremas titiles de la transformada de Laplace y la Secci6n2.5 trata la

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Ingenierfa de control moderna

transformada inversa de Laplace utilizando expansiones en fr~ciones simples de B(s)/A(s),donde A(s) y B(s) son polinomios en s. La Seccion 2.6 presenta metodos computacionales con MATLAB para obtener una desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s), as! como los ceros y los polos de B(s)/A(s). Por ultimo, la Seccion 2.7 aborda las soluciones de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo, mediante el metodo de la transformada de Laplace.

2.2.

REVISION DE VARIABLES YFUNCIONES COMPLEJAS
Antes de presentar la transformada de Laplace, se van a revisar la variable compleja y la funcion compleja. Tambien se revisani el teorema de Euler, que relaciona las funciones sinusoidales con las funciones exponenciales. Variable compleja. Un numero complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, yambas son constantes. Si la parte real y/0 la parte imaginaria son variables, elnumero complejo se denomina variable compleja. En la transformada de Laplace, se emplea la notacion s como variable compleja; esto es, s = a = jw donde a es la parte real y w es la parte imaginaria.
Fundon compleja. Una funcion compleja G(s) es una funcion de s, que tiene una parte real y una parte imaginaria, 0 bien, G(s) = Gx + jGy donde Gx y Gy son cantidades reales. La magnitud de G(s) es +G;, y el angulo de G(s) es tan -1(Gy/Gx). El angulo se mide en sentido contrario al movimien!.o de las manecillas del reloj, a partir del eje real positivo. El complejo conjugado de G(s) es G(s) = Gx - jGyLas funciones complejas que se suelen encontrar en el analisis de los sistemas de control lineales son funciones univaluadas de s y se determinan en forma unica para un determinado valor de s. Sedice que una funcion compleja G(s) es analitica en una region, si G(s) y todas sus derivadas existen en esa region. La derivada de una funcion anaHtica G(s) se obtiene mediante

j G;

e

ds

d G(s + ~s) ~G - G(s) = Hm = Hm tJ.s-+O ~s tJ.s-+O ~s

Como ~s = ~a + j~w, ~s se puede aproximar a cero a 10 largo de un numero infinito de trayectorias diferentes. Se puede demostrar, aunque no...