Tex Cal 1

´ Alarcon
´ Araneda & Pablo Gonz´alez Lever
Salomon

C´alculo Diferencial

II

Prefacio
´ este libro surge
Estimados alumnos de carreras de la salud e ingiener´ıas en ejecucion,
como una respuesta al constante requerimento que muchos de ustedes han manifestado
por encontrar un texto de apoyo al curso de C´alculo I de sus respectivas carreras, que
interprete de mejor forma sus necesidadesacad´emicas y que concuerde con sus programas
de estudios.
Nuestro inter´es es atender vuestros requerimientos de una forma adecuada, con el fin
de apoyar y profundizar el estudio del C´alculo Diferencial, pero sin entrar en
´ algunos de los temas
las sutilezas propias de las matem´aticas. Por esta razon
aqu´ı presentados no est´an ordenados necesariamente de acuerdo a un enfoque
cient´ıfico-matem´aticopropiamente tal, sino que mas bien ellos son presentados en un
orden de car´acter pr´actico. Aun as´ı, hemos decidido introducir algunos elementos
´
formales de la matem´atica con el unico
fin de ahondar en aquellos aspectos que son
´ que conviene
razonables en el contexto del curso y que requieren un nivel de abstraccion
que ustedes desarrollen.
´ preliminar del texto, la cu´al aun
´ debe serDebemos aclarar que esta es una version
˜
mejorada en varios aspectos, lo que esperamos hacer durante el transcurso de este ano.
´ se actualizar´a constantemente.
Por lo tanto, esta version
Finalmente, esperamos que este texto sea del agrado de ustedes y les sirva de apoyo al
momento de estudiar.
Los autores.

´
CAPITULO
0. PREFACIO

IV

´
Indice
general

Prefacio

III

´
Indice
general

V

I

1Funciones Reales

1. El Cuerpo de los Numeros
´
Reales

3

1.1. Axiomas de cuerpo en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

´
1.1.1. Otras propiedades de los numeros
reales . . . . . . . . . . . . . . . .

5

´
1.1.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita
. . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

11

1.2.1. Otras propiedades de las desigualdades en R . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.3. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.4. Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones radicales . . . . . . . . .

18

1.2.5. Inecuaciones . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

´ por Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Solucion

19

´ de tablas
1.2.7. Construccion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.8. Problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3. Axioma de completitud (*opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

24

1.3.1. Propiedad caracter´ıstica del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.2. Propiedad caracter´ıstica del ´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2. Funciones

27

2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

´
2.2. Definiciones de funcion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

V´
INDICE
GENERAL
2.3.

II

Propiedades eventuales de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

´ inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Funcion

32

´ compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Funcion

33

2.6. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

´ Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Funcion

36

2.6.2. Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

´ constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Funcion

37

´ lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4. Funcion

38

´ cuadr´atica . . . . . . . . . ....