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Cap´ ıtulo 4

Derivadas e Integrales
4.1. Introducci´n a la derivaci´n o o

En este cap´ ıtulo presentaremos los conceptos m´s b´sicos del c´lculo diferencial e a a a integral. Este cap´ ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral. Adem´s, se ver´ el nexo que existe entre ambosconceptos a trav´s de un muy importante a a e teorema.

4.1.1.

Derivada de una funci´n o

Si tuvi´semos que definir a la derivada de una funci´n en pocas palabras, dir´ e o ıamos que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´n nos dice, de o alguna manera, cu´nto cambia la funci´n(variable dependiente) a medida que cambia la a o variable independiente. La derivadade una funci´n nos dir´ si una funci´n crece o decrece o a o r´pidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´n, mejor a o comenzaremos describiendo el significado geom´trico que tiene, para luego definirla m´s e a correctamente. Significado geom´trico de la derivada e Consideremos una funci´n lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la o recta descrita poresta funci´n es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de o esta funci´n es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´n es constante o o para todo x y vale m. Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´n cuadr´tica f (x) = x2 . Cu´l es la o a a tasa de crecimiento de esta funci´n. Al graficar esta funci´n(una par´bola) nos damos o o a cuenta que su tasa o ritmode crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´n crece y crece cada vez m´s r´pido. o a a ¿Como poder medir m´s cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los a siguientes dos puntos de la par´bola: a P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)

112 P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)

Derivadas e Integrales

Una buena manera demedir cuanto cambia la funci´n f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es o calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale: m= 4−1 =3 2−1

Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´n al ir de x = 1 o a x = 2 ya que la funci´n crecer´ m´s lentamente cerca de x = 1 y m´s r´pidamente o a a a a cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejormanera cuanto crece f (x) cerca de x = 1. F´cil. Consideremos un punto m´s cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el a a punto P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25) Repitiendo el c´lculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos a que: 1,25 2,25 − 1 m= = = 2,5 1,5 − 1 0,5 Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´s cercano a P1 , la a recta queune P1 con Pk se asemeja cada vez m´s con la recta tangente a P1 . Decimos a que en el l´ ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .

4

3

2

recta tangente a y=x2 en P1 P1

1

-2

-1

1

2

´ Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funci´n f (x) en x◦ se o define como la pendiente de la recta tangente al gr´fico de f (x)en el punto (x◦ , f (x◦ )). a

4.1.2.

Noci´n de l´ o ımite

Entender el concepto de l´ ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´lculo. a Sin ir m´s all´, la derivada es un l´ a a ımite. Pero, ¿ qu´ es un l´ e ımite ? Al estudiar series ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´n de l´ o ımite. Por ejemplo, consideremos la siguiente suma : 1 1 1 1 Sn = + + + · · · + n 2 4 8 2¿Qu´ pasaba si n crec´ al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´trica e ıa e cuyo valor sabemos que es 1. Matem´ticamente, esto se expresa como: a
n→∞

l´ Sn = 1 ım

4.1 Introducci´n a la derivaci´n o o x ±1 ± 0.5 ± 0.1 ± 0.05 ± 0.01 f(x) 0.8415 0.9589 0.9983 0.9996 0.9999

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Este es un caso particular de l´ ımite. De modo m´s general, decimos que el l´ a ımite de una...