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Cap´ıtulo 1
Los N´
umeros Reales
1.1.

Introducci´
on

A continuaci´on presentaremos los n´
umeros reales R, de manera axiom´atica, esto es, aceptaremos que existe un conjunto, el de los n´
umeros reales, el cual bajo las operaciones de
suma (+) y multiplicaci´on (·) verifica ciertas propiedades.
Comenzaremos recordando algunas de las propiedades que satisfacen algunos conjuntos
notables.Consideremos en primer lugar el conjunto
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
llamado conjunto de los N´
umeros Naturales, este conjunto provisto de la operaci´on producto (·) satisface las siguientes propiedades:
1. Clausura: Si n, m ∈ N, entonces n · m es un u
´ nico elemento en N.
2. Asociatividad: Para todo n, m, r ∈ N, se tiene que
(n · m) · r = n · (m · r).
3. Existencia de neutro: Existe e = 1 ∈ N talque para todo n ∈ N
1 · n = n · 1 = n.
4. Conmutatividad: Para todo n, m ∈ N
n · m = m · n.
Pero en N no se verifica la propiedad de existencia de inverso multiplicativo, esto es,
para todo n ∈ N no existe un elemento n′ ∈ N tal que:
n · n′ = 1.
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CAP´ITULO 1. LOS NUMEROS
REALES

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Si consideramos ahora la operaci´on suma (+) en N, tenemos que esta verifica (1), (2),
(3) y (4). Del mismomodo, no cumple la propiedad del inverso aditivo, esto es, dado n ∈ N
no existe un elemento m ∈ N tal que:
n + m = 0.
Consideremos ahora el conjunto de los N´
umeros Enteros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
este conjunto lo podemos expresar en t´erminos del conjunto anterior, esto es
Z = N ∪ N− ,
donde
N− = {−n | n ∈ N}.
El conjunto bajo la suma verifica las siguientes propiedades:
1.Clausura: Si a, b ∈ Z, entonces a + b es un u
´ nico elemento en Z.
2. Asociatividad: Para todo a, b, c ∈ Z, se tiene que
(a + b) + c = a + (b + c).
3. Existencia de neutro: Existe 0 ∈ Z tal que para todo a ∈ Z
0 + a = a + 0 = a.
4. Existencia de elemento inverso: Para todo a ∈ Z, existe (−a) ∈ Z tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0.
5. Conmutatividad: Para todo a, b ∈ Z
a + b = b + a.
Ahora bien, siconsideramos la operaci´on producto (·) en Z esta verifica (1),(2),(3) y (5). Sin
′
embargo no se verifica (4) pues en general para a ∈ Z no existe a ∈ Z tal que
′

a · a = 1.
El hecho de que Z con la operaci´on suma (+) satisface las propiedades antes mencionadas
se resume diciendo que Z con la suma es un grupo.
Consideremos
a
Q=
a ∈ Z ∧ b ∈ Z − {0}
b
el cual recibe el nombre de conjunto de los N´umeros Racionales.
Se definen en ´el las siguientes operaciones:

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CAP´ITULO 1. LOS NUMEROS
REALES
1. Suma

2. Producto

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a c
ad + bc
+ =
.
b d
bd
ac
a c
· = .
b d
bd

Con estas operaciones se tiene que, Q con (+) y Q−{0} con (·) son grupos, es decir, satisfacen
las propiedades de clausura, asociatividad, existencia de neutro y existencia de
inverso, adem´as se verifica la conmutatividad.
Otroconjunto notable es el conjunto de los N´
umeros Irracionales que usualmente es
denotado por I.
Algunos ejemplos de n´
umeros irracionales son:
√
π, e,
2.
Observaci´
on. El conjunto I con la operaci´
o√
n (+) no satisface√la propiedad
de clausura, en
√
√
efecto, consideremos los irracionales 2 y − 2, tenemos que 2 + (− 2) = 0, el cual es un
n´
umero racional (0 = 01 por ejemplo), de esto es evidenteque I no es un grupo.

1.2.

Grupo

Definici´
on 1 Sea G un conjunto no vac´ıo. Diremos que ∗ es una operaci´on binaria o clausura en G si para todo a, b en G existe un u
´nico a ∗ b en G, es decir
(∀a, b ∈ G)(∃! c ∈ G)(a ∗ b = c).
Definici´
on 2 Un grupo es un conjunto no vac´ıo G y una operaci´on binaria ∗, tal que para
todo a, b y c en G se cumplen los siguientes:
i) Asociatividad
Para todo a,b, c en G, se cumple
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
En s´ımbolos
(∀a, b, c ∈ G)(a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c).

ii) Existencia de elemento neutro
Existe e elemento neutro de G, tal que para todo a en G, se cumple
a ∗ e = a = e ∗ a.
En s´ımbolos
(∃ e ∈ G)(∀a ∈ G)(a ∗ e = a = e ∗ a).

iii) Existencia de elemento inverso
Para todo a en G, existe b en G, tal que

a ∗ b = e = b ∗ a.

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CAP´ITULO 1. LOS...