Texto6

TECSUP - PFR

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDAD VI

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1.

INTRODUCCIÓN
Tal como se indicó anteriormente, la derivada de la función f
determinado a, si existe, es:

en un punto

f (x )  f (a )
x a
x a

f '(a )  lim

Ahora bien, dada una función f, se define la función derivada de f, f ' como
aquella función que a los números a para los cuales f es derivable lesasigna el
valor de f '(a )

f '
a 
 f '(a )

Es decir,

Derivada de f (x )  x n , siendo n un número natural.

Si f (x )  x n con n  , entonces f '(x )  nx n 1 para todo x  .

En efecto, calculemos la derivada en un punto a cualquiera. Tendremos:

f (x )  f (a )
x n an
 lim
x a
x a x  a
x a

f '(a )  lim

Aplicando el método de Ruffini, obtenemos:

a

1

0

0

0

...

0

an



aa2

a3

...

a n-1

an

1

a

a2

a3

...

a n-1

0

79

 n + 1 términos

Cálculo Diferencial e Integral

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f '(a )  lim

Luego:

x a

(x  a )(x n 1  a .x n 2  a 2 .x n 3  ...  a n 1 )
x a

f '(a )  lim (x n 1  a .x n 2  a 2 .x n 3  ...  a n 1 )
x a

f '(a )  (a n 1  a .a n 2  a 2 .a n 3  ...  a n 1 )

f '(a )  (a n 1  a n 1  a n 1  ...  a n 1)  na n 1
" n " veces

Ahora bien, como el resultado anterior es válido para cualquier a, la función
derivada será f '(x )  nx n 1 , tal como queríamos demostrar.
Ejemplo:
Calcular la derivada de la función f (x )  x 7
cualquiera. Luego, calcular dicha derivada para x  1 .
Solución:

para un x

Aplicando el resultado anterior, tenemos: f '(x )  7x 6 .

En el caso de que x  1 , tendremos: f'(1)  7(1) 6  7
Nota: Con el uso de algunos métodos algebraicos y un poco del cálculo
superior se logra demostrar que el resultado anterior es válido para cualquier
n  Q.
Ejemplo:
cualquiera.

Calcular la derivada de la función f (x )  x 7 / 3 para un x

Solución:

Teniendo en cuenta la nota anterior, tenemos:

f '(x ) 

7
x
3

4 /3

.

En el caso de que x  2 , tendremos:

f '(2) 

73 4 73
14 3 2
2  2 2
3
3
3

80

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2.

Cálculo Diferencial e Integral

REGLAS DE DERIVACIÓN
2.1

DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES
Si las funciones f y g son derivables en un punto a, la función f + g
también será derivable en el punto a, y se cumple que:
(f  g )'(a )  f '(a )  g '(a ) .

En efecto, tendremos que:
(f  g ) '(a )  lim

(f  g )(x )  (f  g )(a )
f (x )  g (x )  f (a)  g (a )
 lim
x a
x a
x a

(f  g ) '(a )  lim

f (x )  f (a )
g (x )  g (a )
 lim
 f '(a )  g '(a )
x a
x a
x a

x a

x a

tal como queríamos demostrar.
Ejemplo:
Calcular la derivada de la función f (x )  x 5  x 3 para un x cualquiera.
Luego, calcular dicha derivada para x  2 .
Solución:
Tendremos:

f (x )  g (x )  h (x ) siendo g (x )  x 5 y h (x )  x 3

Por lo tanto:

f'(x )  g '(x )  h '(x ) .

Pero como:

g '(x )  5x 4 y

Resulta que:

f '(x )  5x 4  3x 2 .

En el caso de que x  2 , tendremos:

f '(2)  5(2) 4  3(2) 2  80  12  92

81

h '(x )  3x 2

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2.2

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DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA
FUNCIÓN
Si f es una función derivable en a, la función g  c .f , donde c es una
constante, también esderivable en el punto a, y se verifica que:

g '(a )  c f '(a ) .
En efecto, tendremos que:

c f (x )  c f (a )
c (f (x )  f (a ))
 lim
x a
x a
x a
x a

g '(a )  lim

f (x )  f (a )
 c f '(a )
x a
x a

g '(a )  lim c lim
x a

tal como queríamos demostrar.
Ejemplo:
Calcular la derivada de la función f (x )  3x 5 para un x
Luego, calcular dicha derivada para x  4 .

cualquiera.Solución Tendremos: f (x )  3g (x ) siendo g (x )  x 5 .

Así, pues: f '(x )  3g '(x )  3  5x 4  15x 4 .
En el caso de que x  4 , tendremos:

f '(4)  15(4) 4  3840
2.3

DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES
Si f y g son funciones derivables en un punto a, la función f  g también
es derivable en el punto a, y se cumple que:
(f  g )'(a )  f '(a )  g (a )  f (a )  g '(a ) .

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