Thomas Calculo

´ UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS ´ Facultad Tecnologica ´ Profesora: Helena Dulcey Hernandez ´ Calculo Diferencial

Mayo, 2012

Notas de Clase Ecuaciones Exponenciales y Logar´ıtmicas
Propiedades de los Exponentes Enteros Sean a y b n´meros reales diferentes de cero y m y n son enteros arbitrarios, entonces tenemos: u 1. am an = am+n 2. (am )n = amn 3. (ab)n = an bn 4. am =am−n an 1 am = n−m n a a ( )n a an 6. = n b b ( )−n a bn 7. = n b a 5.

Propiedades de los Logaritmos Sea a un n´mero positivo, con a ̸= 1. Sea x, y y r n´ meros reales cualesquiera, con x > 0 y y >0 u u 1. loga (xy) = loga x + loga y, es decir el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos. ( ) x = loga x + loga y, es decir el logaritmo de un cociente es igual a la resta delos logaritmos. 2. loga y 3. loga xr = r loga x, el logaritmo de una potencia de un n´mero es igual al exponente multiplicado por el u logaritmo del n´mero. u NOTA:
r loga xr ̸= loga x

1.Ecuaciones Exponenciales

Una ecuaci´n exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. Por ejemplo o 2x = 7 La variable x presenta una dificultad porque est´ en el exponente. Paratratar con esta dificultad, se toma el a logaritmo de cada lado y luego se usan las propiedades de los logaritmos para ”bajar a x”del exponente. ´ Pasos para resolver una ecuacion exponencial 1. Deje a unlado de la ecuaci´n la expresi´n exponencial o o 2. Aplique el logaritmo a cada lado 3. Utilice las propiedades de los logaritmos 4. Despeje la variable P´gina 1 a

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Mayo, 2012

Ejemplo 1 Encuentre la soluci´n de la ecuaci´n 3x+2 = 7 o o Soluci´n. Como ya est´ almismo lado la ecuaci´n exponencial, entonces se aplica el logaritmo a cada lado de o a o la ecuaci´n, as´ o ı 3x+2 = 7 log(3x+2 ) = log 7 (x + 2) log 3 = log 7 log 7 x+2= log 3 log 7 x= − 2 ≈...