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Rectas y planos
en el espacio
1.
2.
3.

Los arquitectos son unos grandes conocedores de la geometría en el espacio.
Una obra emblemática en la que se pueden observar perfectamente las rectas
y los planos es la casa de la Cascada o casa Kaufmann. Diseñada entre
1934 y 1935 y construida durante 1936 y 1937, se considera la obra cumbre
deFrank Lloyd Wrigt (1876-1959).
Proyectada como casa de campo para Edgar Kaufmann, hoy en día es
un monumento nacional en Estados Unidos.
Wright comentó sobre su obra: «Está diseñada para la música de la
cascada, para aquel a quien le gusta oírla». Hoy en día el sonido de la cascada
se percibe desde cualquier lugar de la casa.

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Discute el siguiente sistema según el valor
del parámetroa:
ax ϩ 4y ϩ z ϭ 1
y ϩ az ϭ a
x ϩ 14y Ϫ 2az ϭ 8

Ά

xϪ4 y
Dada la recta ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ z Ϫ 1,
5
2
averigua si el punto P(6, 2, 2) está
contenido en la recta paralela
a la anterior que pasa por el origen
de coordenadas.
Dado el plano 2x Ϫ y ϩ 3z ϭ 4,
determina si son o no paralelos:
1Ϫx yϩ1 2
a) La recta ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
Ϫ2
Ϫ1
3
b) El plano Ϫx ϩ 3y Ϫ 2z ϭ 0.

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Rectas en el espacio

Una recta en el espacio queda determinada por un punto A y por una
dirección definida por un vector no nulo, ៬, denominado vector director de
v
la recta; r(A, ៬) es la determinación lineal de la recta.
v
La determinación lineal de la recta no es única, ya que se puede tomar
cualquiera de sus puntos; además, dada una recta, existeninfinitos vectores
directores (todos paralelos entre sí y con la misma dirección de la recta).
Puede determinarse una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos.
En efecto, conocidos dos puntos de una recta, A y B, se puede determinar
el vector ៮៬ y este será un vector director de la recta, puesto que tiene su
AB
misma dirección. La determinación de la recta será r(A, ៮៬).
AB

RecuerdaUna recta en el plano queda
determinada por un punto A y
por un vector no nulo, ៬, denov
minado vector director de la
recta.

1.1. Ecuación vectorial de la recta
Sea A(a1, a2, a3) un punto de la recta y sea ៬ un vector director; en la
v
figura 5.1 se observa que, para un punto cualquiera, P(x, y, z), de la recta se
puede escribir:
៮៬ ϭ ៮A ϩ ៮៬
O P O៬ AP
y dado que ៮៬ tiene la mismadirección que ៬:
AP
v
៮៬ ϭ ៮៬ ϩ ␭v
៬
OP O A

␭ʦ‫ޒ‬

que es la ecuación vectorial de la recta en el espacio.
Z
A

៬
␭v

P

O
FIGURA 5.1.

Y

X

1.2. Ecuaciones paramétricas de la recta
Teniendo en cuenta que las coordenadas del punto A son (a1, a2, a3), las
del punto P, (x, y, z) y las componentes del vector ៬ son (v1, v2, v3), la
v
ecuación vectorial se puede escribir:(x, y, z) ϭ (a1, a2, a3) ϩ ␭(v1, v2, v3)
Igualando las componentes se obtiene:
Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio:

Ά

x ϭ a1 ϩ ␭v1
y ϭ a2 ϩ ␭v2
z ϭ a3 ϩ ␭v3

␭ʦ‫ޒ‬

Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), las ecuaciones
paramétricas de la recta se convierten en:

Ά

x ϭ a1 ϩ ␭(a1 Ϫ b1)
y ϭ a2 ϩ ␭(a2 Ϫ b2)
z ϭ a3 ϩ ␭(a3 Ϫ b3)

␭ʦ‫ޒ‬103 5.

Observa
Conocidos dos puntos de la
recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3),
un vector director es:
៬ ϭ (a1Ϫ b1, a2 Ϫ b2, a3 Ϫ b3)
v

Rectas y planos en el espacio

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Ejemplos
1. Dada la recta (x, y, z) ϭ (Ϫ3, 1, 5) ϩ ␭(2, Ϫ1, 0), averiguar si los puntos
A(Ϫ5, 2, 5), B(1, Ϫ2, 5) y C(Ϫ1, 0, 6) pertenecen a ella.
Sustituyendo en laecuación de la recta los puntos dados:
(Ϫ5, 2, 5)ϭ(Ϫ3, 1, 5)ϩ␭(2,Ϫ1, 0) ⇒ (Ϫ2, 1, 0)ϭ␭(2,Ϫ1, 0) ⇒ ␭ϭϪ1
(1,Ϫ2, 5)ϭ(Ϫ3, 1, 5)ϩ␭(2,Ϫ1, 0) ⇒ (4,Ϫ3, 0)ϭ␭(2,Ϫ1, 0) ⇒ ∃ ␭
/
(Ϫ1, 0, 6)ϭ(Ϫ3, 1, 5)ϩ␭(2,Ϫ1, 0) ⇒ (2,Ϫ1, 1)ϭ␭(2,Ϫ1, 0) ⇒ ∃ ␭
/
Solo el punto A pertenece a la recta.
2. Dados los puntos A(0, 3, 2) y B(Ϫ1, 0, 5), escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos....