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Cap. 1 Matrices y Determinantes

Moisés Villena Muñoz

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

DEFINICIÓN
ORDEN O DIMENSIÓN
CLASES DE MATRICES
IGUALDAD DE MATRICES
OPERACIONES
DETERMINANTE
MATRIZ INVERSA

Los a rreglos ma triciales permi ten estruc turar muchos contenidos
ma temá ticos. De allí su importancia de estudio en este capí tulo.

OBJETIVOS:







Definir arreglo matricial.
Definir y aplicar las definiciones para identificar matrices cuadradas,
matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices
diagonales, matrices simétricas.
Aplicar operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación
por escalares, multiplicación entre matrices.
Hallar determinantes de ma trices.
Aplicar las propiedades de los determinantespara ejercicios
conceptuales.
Justificar la existencia de la inversa de una matriz
Determinar, de existir, la inversa de una matri z.

1

Cap. 1 Matrices y Determinantes

Moisés Villena Muñoz

1.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula.
Columna
C1

C2

C3

Cn

a11
a21
a31a12
a22
a32

a13
a23
a33

a1n
a2 n
a3n

am1

am 2

am 3

amn






A





  R1
 R
2

 R3


 Rm


Renglón

A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número a ij se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer
número del subíndice) indica la filaen donde se encuentra y " j " (el segundo
número del subíndice) la columna, es decir:

1.2 ORDEN O DIMENSIÓN
El orden o la dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la
cantidad de columnas que posea. Al decir Amn , se indica que A es una matriz
que tiene m filas y n columnas.

Ejemplos
2
A
1

1 3 
 A es de orden 2  3 porque tiene que tiene 2 filas y 3columnas.

0  2 23

  1 2  3


 B es de orden 3  3 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.
B   0 1  2
1 2 3 

 33

2

Cap. 1 Matrices y Determinantes

Moisés Villena Muñoz

Ejercicio Propuesto 1.1

 

A43  aij

1. Determine la matriz

para la cual aij  i  j  2 . [SUGERENCIA: por ejemplo con

objeto de calc ular a21 , haga i  2 y j  1 en lafórmula a21  2  1  2  1 ].

  para la cual a

2. Determine la matriz A33  aij

ij

0 ; i  j

1 ; i  j

1.3 CLASES DE MATRICES
1.3.1 MATRIZ CUADRADA

Una matriz Amn es cuadrada si y sólo sí m  n .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y
se la denota como Ann .
Caso contrario se la considera una matriz rectangular.
Cuando unamatriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal
para los elementos a ij donde i  j , y Diagonal Secundaria para los elementos
de la otra diagonal.

Ann

 a11 a12

 a21 a22
  a31 a32


 
a
an 2
 n1

a13
a23
a33

a n3






Diagonal
Secundaria

a1n 

a2 n 
a3n 

 
ann 


Diagonal
Principal

La suma de los elementos de laDiagonal Principal es llamada Traza de la
matriz y se la denota como Tr  A , es decir:

Tr  A  a11  a22  a33 

 ann

Dentro de las matrices cuadradas también aparecen las siguientes clases de
matrices:
1.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están
bajo la diagonal principal son todos ceros.

Ann

 a11

 0 0

 
 0


a12
a22
0

0

a13
a23
a33

0






a1n 

a2 n 
a3n 

 
ann 


3

Cap. 1 Matrices y Determinantes

Moisés Villena Muñoz

1.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están
sobre la diagonal principal son todos ceros.

Ann

0
 a11

a21 a22

  a31 a32...