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Ecuación paramétrica


Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa.
En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyosvalores se desprenden los de lavariable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo  para determinar la posición y la velocidad de unmóvil.
Índice
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1 Descripción
1.1 Ejemplo
1.2 Otro ejemplo
2 Curvas notables
2.1 Circunferencia
2.2 Elipse
2.3 Otras curvas
3 Representación paramétrica de una curva
4 Véase también
5 Notas yreferencias
6 Enlaces externos
Descripción[editar]
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son susparámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera  equivale a la expresión .
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace eselegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».
Ejemplo[editar]
Sea  la ecuación general de una recta, entonces caben la ecuaciones paramétricas: , .1
Otro ejemplo[editar]
Dada la ecuación ,una parametrización tendrá la forma 
Una parametrización posible sería 
Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a  y  sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de lacurva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.
Curvas notables[editar]
Circunferencia[editar]


Ecuación paramétrica de lacircunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que 
Una expresión paramétrica es 
Elipse[editar]Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verifica que .
Una expresión paramétrica es .
Otras curvas[editar]


Diferentes figuras variando k
La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se describe la funciónparamétrica:


Dependiendo del ratio k = a/b pueden obtenerse formas muy diversas.
En esta otra función se puede ver una gran variedad de formas en función de los exponentes j y k, variando los paràmetros a,b,c y d.


A continuación ejemplos para j=3 k=3 y j=3 k=4.

j=3 k=3
 

j=3 k=3
 

j=3 k=4
 

j=3 k=4
 

j=3 k=4
A continuación se describe otra función donde puede obtenerse unagran diversidad de formas, variando el valor de las constantes: i,j,a,b,c,d,e.



i=1 j=2
Representación paramétrica de una curva[editar]
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro(habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del...