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Topolog´ general
ıa

G

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UB

IA
N

[un primer curso]

IA
N

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UB

G
O

O

Topolog´ general
ıa

G

.R
UB

IA
N

[un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O.
Profesor titular

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´
a

1. Topolog´ general
ıa
Gustavo N. Rubiano O.

IA
N

Topolog´ general, 3a. edici´n
ıa
oUniversidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´
a
Facultad de Ciencias, 2010

O

vi, 284 p. : 3 il. 00
ISBN 978-958-719-442-5

Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.

.R
UB

c Edici´n en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´n
o
o
Universidad Nacional de Colombia.

G

A
Diagramaci´n y dise˜o interior en L TEX: Gustavo Rubiano
o
n

Tercera edici´n, 2010
o
Impresi´n:o
Editorial UN
Bogot´, D. C.
a
Colombia

O

Contenido

IA
N

Pr´logo
o
1. Conjuntos con topolog´
ıa

1.1. Los reales —una inspiraci´n—
o

IX

1

. . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Abiertos b´sicos (generaci´n de topolog´
a
o
ıas) . . . . . . . .

8

1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

.R
UB

1.4. Nuevos ejemplos:subespacios de un espacio . . . . . . . . 22

2. Espacios m´tricos
e

28

2.1. M´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
e
2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Caracterizaci´n de los espacios euclidianos . . . . . 42
o

2.3. Topolog´ para una m´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ıa
e
. . . . . . . . . . . . . .. . 48

G

2.3.1. M´tricas equivalentes
e

3. Bases y numerabilidad

57

3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Funciones —comunicaciones entre espacios—

64

4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. La categor´ Top . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 70
ıa
4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
v

CONTENIDO

vi
5. Filtros, convergencia y continuidad

74

5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
89

O

6. Homeomorfismos –o geometr´ del caucho–
ıa

6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.

IA
N

6.2. Invariantes topol´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
o
Espacios de identificaci´n –cociente–
o

102

7.1. Topolog´ cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 102
ıa

.R
UB

7.1.1. Descomposici´n can´nica por una funci´n . . . . . 105
o
o
o
8. La topolog´ producto
ıa

112

8.1. Definici´n sint´tica de producto entre conjuntos . . . . . . 112
o
e
8.2. La topolog´ producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 113
ıa
8.3. La topolog´ producto —caso infinito— . . . . . . . . . . 115
ıa
8.4. Propiedades productivas . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119
8.5. La topolog´ producto —en los m´tricos— . . . . . . . . . 123
ıa
e

G

8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7. Topolog´ al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128
ıas
8.7.1. La topolog´ inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
ıa
8.7.2. La topolog´ final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
ıa9. Posici´n de un punto respecto a un conjunto
o

133

9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140
9.2. Puntos de acumulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
o

CONTENIDO

vii

9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . ....