Tiempo discreto v11r1

Introd. a la Teoría de Control

Sistemas de Control
en Tiempo Discreto
Michel Hakas

Bibliografía


Phillips & Nagle: Digital Control Systems



Astrom & Wittenmark: Sistemas Controlados por Computador



Este conjunto de transparencias son esencialmente, una guía
para el docente, y le servirán al estudiante para tener una
referencia de los temas abordados en el curso.
No pretende, bajoningún concepto, ser un material de estudio
autocontenido, si bien, complementado con lo que se ve en
clase, abarcará lo fundamental.

Introducción (1)


Los sistemas de tiempo
discreto trabajan con
señales que sólo pueden
cambiar de valor en
instantes de tiempo discretos
(contrastar con sistemas
analógicos /continuos).



El controlador es un filtro
digital.



Veremos cómo
 determinar funcionesde transferencia discretas,
 diseñar funciones de transferencia, y
 analizar la estabilidad de sistemas de tiempo discreto.

Introducción (2)


La transformada de Laplace
Ya hemos visto su utilidad para sistemas analógicos lineales e
invariantes en el tiempo.


F ( s ) L f(t) 0 f (t ).e  s.t .dt
Sabemos cómo usar tablas para calcular la transformada de
Laplace de una función en eltiempo, y su inversa, para retornar
de las funciones de variable compleja al dominio temporal.
Sabemos una serie de propiedades y teoremas (linealidad,
valor final, inicial, etc.)
Vamos a buscar algo análogo, que nos facilite el análisis y
diseño de sistemas de control en tiempo discreto.

Sistemas en tiempo discreto (1)






La computadora digital
implementa el controlador
discreto.
La interfazcon el mundo
analógico se hace a través
de conversores (A/D para las
entradas y D/A para las
salidas).
Trabajaremos con sistemas donde el tiempo no se representa
por una variable en R, sino en Z.
Las señales serán sucesiones de reales  hk   h0 , h1 , 

Sistemas en tiempo discreto (2)


Supongamos que reemplazamos un controlador PI analógico,
cuya salida, en función de la señal de error a suentrada, es:
t

v(t ) K P .e(t )  K I .0 e( ).d




Con la comp. digital podemos sumar, multiplicar e integrar
numéricamente, por lo cual podemos implementar la ecuación
del controlador, aproximando la integral (por ej.) por el área del
rectángulo: x( k .T )  x (k  1).T   T .e( k .T )
donde T es el tiempo entre
muestras sucesivas, o sea, el
período de muestreo.
Así obtenemos laecuación
en diferencias, lineal y de
primer orden:
v(k .T ) K P .e( k .T )  K I .x(k .T )

Sistemas en tiempo discreto (3)


La forma general de una ec. en diferencias lineal y de orden n:
v(k )  n .e(k )   n 1.e(k  1)     0 .e(k  n)
  n 1.v( k  1)     0 .v(k  n)
con T omitida por conveniencia.
Esto describe a un filtro digital (filtro discreto lineal e invariante
en el tiempo).

El problema del diseñador es determinar:
1.
2.
3.

T, el período de muestreo
n, el orden de la ecuación
 i y  i, los coeficientes del filtro

para que el sistema tenga las características deseadas.

La Transformada Z (1)


Es una transformación que se aplica a sucesiones de números
(reales) y devuelve una función de variable compleja.
Usaremos la transformada Z unilateral, porqueconsideraremos
funciones (o sucesiones) que arrancan en determinado tiempo.
1

Z   e(k )  E ( z ) e(0)  e(1).z  e(2).z

2



    e( k ).z  k
k 0



Ejemplos
1) Sea E(z) = 1 + 3.z-1 - 2.z-2 + z-4 + ..., {e(k)} = ?

e(0) = 1;

e(1) = 3;

e(2) = -2;

e(3) = 0;

2) Sea e(k) = 1 para todo k, E(z) = ?
1
z
E ( z ) 1  z  1  z  2   

1 z1 z  1

e(4) = 1;

....

z1 1

Nota: e(k) = 1 puedeser generada por muestreo de un escalón unitario,
o de cualquier otra función que valga 1 cada T seg.

La Transformada Z (2)


Teoremas



Linealidad

Z   . h1 (k )   . h2 (k )   .H1 ( z )   .H 2 ( z )



Traslación real: retraso

Z   h( k  n)   z  n .H ( z )






Z
h
(
k

n
)

z
.
adelanto
 H ( z) 

n



n 1



k 0



 h(k ).z  k 



...