Tigre

Teor´ de Gauge ıas
Leonardo Balart Vergara Facultad de F´sica, P. Universidad Cat´lica de Chile, ı o Casilla 306, Santiago 22, Chile.

Resumen
En este trabajo estudiaremos las propiedades algebraicas de las teor´ de gauge. Haremos ıas una revisi´n de las transformaciones de gauge globales y locales, para grupos de transo formaciones abelianos y no abelianos. Tambi´n revisaremos el conceptode rompimiento e espont´neo de la simetr´ para las invariancias global y local, y en cada caso vamos a considea ıa rar el grupo de transformaciones abeliano y el no abeliano. Luego estudiaremos el concepto de supern´mero y algunas de sus propiedades, las cuales utilizaremos en el desarrollo de u los dos ultimos cap´ ´ ıtulos. Veremos como dado un operador diferencial ∆ de segundo orden 2 que cumple∆ = 0 nos conduce a obtener un antibracket y as´ poder definir una ecuaci´n ı o maestra invariante bajo cierta transformaci´n, en la cual identificaremos un campo de fuerza o y un campo vectorial fot´nico, para mostrar como se conecta con el caso de transformadas o de gauge locales para grupos no abelianos, es decir transformaciones de Yang-Mills. Por ultimo definiremos un operador diferencial ∆N Ade tercer orden, que cumpla ∆2 A = 0, el ´ N cual introducir´ un nuevo elemento que llamaremos el triantibracket, y estudiaremos las a transformaciones de gauge generadas por este operador de tercer orden .

1

Cap´ ıtulo 1 Invarianza de gauge
En f´ ısica de part´ ıculas el concepto de simetr´ es decir la invariabilidad de algo bajo una ıa, operaci´n, es muy importante por el papelprotag´nico que juega en la descripci´n de las o o o cuatro fuerzas fundamentales (de gravedad, electromagn´tica, d´bil, y fuerte). e e La simetr´ puede ser de dos tipos: simetr´ espacio temporal o simetr´ interna. La ıa ıa ıa primera es descrita por grupos tales como el grupo de Lorentz y el grupo de Poincar´. e Mientras que la segunda es descrita por grupos de simetr´ interna, por ejemplo los grupos ıaunitarios U (1) y SU (2), los cuales estudiaremos en el presente cap´ ıtulo. Un grupo de transformaciones puede ser global o local. Una transformaci´n de simetr´ global es id´ntica para o ıa e todos los puntos del espacio tiempo. Por su parte una transformaci´n de simetr´ local es o ıa distinta en cada punto del espacio tiempo, depende de las coordenadas de este punto. Agreguemos que la din´mica deun sistema f´ a ısico, que en nuestro estudio son las interacciones entre campos, puede ser representada en el formalismo lagrangiano. De este modo una teor´ f´ ıa ısica ser´ invariante cuando el correspondiente lagrangiano sea invariante bajo a las transformaciones de alg´n grupo. u En este cap´ ıtulo (ver referencias [?], [?] y [?]) estudiaremos lagrangianos invariantes bajo transformaciones desimetr´ (o de gauge) globales para los grupos abeliano U (1) y ıa no abeliano SU (2). Luego estudiaremos lagrangianos invariantes locales, tambi´n bajo grue pos de transformaciones abeliano y no abeliano, y veremos que en este caso ser´ necesario a introducir nuevos campos: los campos de gauge. A modo de entender los conceptos mencionados, comenzaremos por mostrar la invarianza de gauge en lasecuaciones de Maxwell (ver referencia [?]).

1.1

Invarianza de Gauge de E y B.
· D = 4πρ 1 ∂D 4π J+ ×H = c c ∂t 2 (1.1) (1.2)

Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes:

×E+

1 ∂B = 0 c ∂t ·B = 0

(1.3) (1.4)

donde D es el desplazamiento el´ctrico (D = E , es la permitividad), H es la intensidad e magn´tica (B = µH , µ es la permeabilidad), ρ es la densidad volum´trica de carga,J es e e la densidad de corriente, c es la velocidad de la luz, E el campo el´ctrico y B el campo e magn´tico. e De (??) vemos que podemos definir B en t´rminos de un potencial: e B= ×A (1.5)

en esta ecuaci´n podemos agregar al vector potencial el gradiente de alguna funci´n escalar o o Λ A→A =A+ Λ (1.6) De este modo B no cambia por esta transformaci´n del vector potencial. o De las...