Tipo De Errores De Control

Errores y Tipo de Sistema
Error dinámico: es la diferencia entre las señales de entrada y salida durante el período transitorio, es decir el tiempo que tarda la señal de respuesta en establecerse. La respuesta de un sistema en régimen transitorio se analizará al final de este capítulo; por ahora sólo diremos que para estudiar este tipo de respuesta se utilizan señales de prueba, el siguientecuadro muestra las transformadas de “Laplace” de las mismas:

Función del tiempo Impulso Escalón unitario Rampa unitaria Parabólica Tabla 1

Transformada función de “s”

1 1/s 1/s2 1/s3

El siguiente gráfico muestra la respuesta de un sistema ante una entrada escalón y el error así generado:

Error dinámico
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 -0.4 -0.6

c(t) e(t) r(t)

1

2

34

5

Tiempo t

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Error estacionario: es la diferencia entre las señales de entrada y salida durante el período estacionario o permanente, se lo estudia en el campo complejo ya que se dispone de las transferencias, para ello se utiliza el teorema del valor final. Sea e(t) la función error, se define el error estacionario como:

ess= lim e(t) = lim s ⋅ E(s)
t →∞ s →0

Ahora analizaremos la transferencia de un sistema de control de lazo cerrado obteniendo una expresión de la transformada del error E(s); como el error estacionario depende del “tipo de función de transferencia de lazo abierto G.H”, supondremos que G.H posee una forma determinada, por último para distintos tipos de entradas calcularemos el error estacionario(utilizando el teorema del valor final).

C G = R 1+ G ⋅ H

;

C = E⋅G

E⋅G G E 1 = ⇒ = R 1+ G ⋅ H R 1+ G ⋅ H

R E= 1+ G ⋅ H
Expresamos la transferencia de lazo abierto “G.H” en forma de constantes de tiempo:

G⋅H =

k ⋅ (Ta ⋅ s + 1) ⋅ (Tb ⋅ s + 1) ⋅ (Tc ⋅ s + 1)Λ s n ⋅ (T1 ⋅ s + 1) ⋅ (T 2 ⋅ s + 1) ⋅ (T 3 ⋅ s + 1)Λ

Esto presenta la ventaja de relacionar el error estacionario conla ganancia k; pues la expresión de “G.H”, sin considerar el término sn, tiende a “K” cuando “s→0”, lo que simplifica el análisis

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Según el teorema del valor final se tiene:

ess = lim e(t) = lim s ⋅ E(s)
t →∞ s →0

ess = lim s ⋅
t →∞

R 1+ G ⋅ H R k ⋅ (Ta ⋅ s + 1) ⋅ (Tb ⋅ s + 1)Λ 1+ n s ⋅ (T1 ⋅ s + 1) ⋅ (T 2 ⋅ s + 1)Λ

ess =lim s ⋅
t →∞

Luego para distintas entradas R(s) se calcula ess; suponiendo tres entradas tipo de prueba, escalón unitario, rampa unitaria y parabólica. En cuanto al valor del exponente “n” de la expresión de “ess”, se define como sistema tipo 0, 1, 2, 3, etc., según sea “n” igual a 0, 1, 2, 3, etc., respectivamente. Si bien el término “integrador” 1/sn disminuye el error estacionario, no seestudian sistemas de mayor tipo que tres (3) ya que el sistema tiende a tornarse inestable. La siguiente tabla resume los cálculos: Tabla 2.a Entrada Escalón unitario, 1/s Rampa unitaria, 1/s2 Parabólica, 1/s3 0 1/(1+k) ∞ ∞ 1 0 1/k ∞ Tipo 2 0 0 1/k 3 0 0 0

Si definimos coeficientes de error estático a los recíprocos de “ess” la tabla anterior queda: Tabla 2.b Entrada Escalón unitario, 1/s Rampaunitaria, 1/s2 Parabólica, 1/s3 Coeficiente de Error 0 1+k 0 0 1 ∞ k 0 Tipo 2 ∞ ∞ k 3 ∞ ∞ ∞

De posición Kp De velocidad Kv De aceleración Ka

Los coeficientes de error estático son factores de mérito , cuanto mayores son mejor es el sistema respecto del error estacionario.

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La definición de coeficiente de error así presentada es untanto descolgada, pero un rápido análisis quizás arroje un poco de luz (de lo contrario preguntar a los docentes, que sin duda le alcanzarán una antorcha!!!). Si la entrada es escalón:

ess = lim s ⋅ E(s) = lim s ⋅
s →0 s →0

R 1/s = lim s ⋅ 1 + G ⋅ H s →0 1 + G ⋅ H

ess = lim

1 s →0 1 + G ⋅ H

El coeficiente de error estacionario será(#):

kp = lim G ⋅ H ⇒ ess =
s →0

1 1 + kp...