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Algebra Lineal XV: Transformaci´n Lineal Inversa. o
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica ıa a Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica ıa a e o Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Transformaci´n Lineal Inversa. o

En esta secci´n definiremos las transformaciones lineales inversas. o Definici´n de una transformaci´n linealinversa. Una transformaci´n lineal, T , de un espacio o o o vectorial V sobre otro espacio vectorial V , ambos definidos sobre un campo K que es biyectiva —es decir que es inyectiva o sobreyectiva— se dice que es no-singular o invertible. Entonces existe una transformaci´n, T ∗ , de V a V tal que o T ∗T v = v ∀v ∈ V y T T ∗v = v ∀v ∈ V . (1)

Recordando las definiciones de las transformacioneslineales id´nticas e IV : V → V y IV : V → V IV (v ) = v ∀v ∈ V Entonces, las condiciones que satisface la transformaci´n inversa, T ∗ , vea la ecuaci´n (1), pueden escribirse o o como T ∗ T = IV y T T ∗ = IV Debe notarse que la ecuaci´n (1) define de manera formal la transformaci´n inversa, T ∗ . Puesto que o o T ∗T v = v se tiene que, ∀v ∈ V T ∗ (v ) = v donde v es el unico elemento de ´ V T (v) = v∀v ∈ V, IV (v) = v ∀v ∈ V

La figura (1) muestra las relaciones entre una transformaci´n lineal, T , su transformaci´n inversa, T ∗ , y o o las transformaciones lineales identidad IV y IV . Teorema. Sea T una transformaci´n lineal biyectiva, no-singular o invertible, entonces la transformaci´n o o ´ inversa T ∗ es unica. Prueba: Suponga que existen dos inversas T ∗1 y T ∗2 que presumen serdiferentes. Entonces, aplicando la ecuaci´n (1), se tiene que o T ∗1 T = IV Entonces, se tiene que T T ∗1 = IV y T ∗2 T = IV T T ∗2 = IV

T ∗1 T = IV 1

Figura 1: Transformaci´n lineal, T , su inversa, y las transformaciones lineales id´nticas. o e Postmultiplicando, ambos lados de la ecuaci´n por T ∗2 , se tiene que o T ∗1 = T ∗1 IV = T ∗1 (T T ∗2 ) = (T ∗1 T )T ∗2 = IV T ∗2 = T ∗2 . Teorema. Sea Tuna transformaci´n lineal biyectiva, no-singular o invertible, entonces la o e o transformaci´n inversa T ∗ es tambi´n una transformaci´n lineal. o Prueba: Sean v1 , v2 ∈ V y λ ∈ K arbitrarios. Suponga adem´s que a T ∗ (v1 ) = v1 ⇒ T (v1 ) = v1 y T ∗ (v2 ) = v2 ⇒ T (v2 ) = v2 (2)

Entonces, probaremos que la transformaci´n inversa es aditiva y homog´nea. o e 1. Aditiva. Por las suposicionesindicadas en la ecuaci´n (2), o T (v1 + v2 ) = v1 + v2 donde, adem´s v1 + v2 es el unico vector que satisface la condici´n. Por lo tanto a ´ o T ∗ (v1 + v2 ) = v1 + v2 = T ∗ (v1 ) + T ∗ (v2 ) 2. Homog´nea. Por las suposiciones indicadas en la ecuaci´n (2), e o T (λv1 ) = λv1 donde, adem´s λv1 es el unico vector que satisface la condici´n. Por lo tanto a ´ o T ∗ (λv1 ) = λv1 = λT ∗ (v1 ) Por lo tanto,T ∗ es lineal, de ahora en adelante, la transformaci´n lineal inversa de T , se denominar´, T −1 . o a Teorema. Sea T una transformaci´n lineal sobreyectiva, de un espacio vectorial V sobre otro espacio o vectorial V . Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. T es invertible, no-singular o biyectiva. 2. NT = {0} 2

3. ν(T ) = 0. 4. ρ(T ) = dimV, cuando V es finito dimensional.5. Si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V, entonces {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es una base de V , cuando V es finito dimensional. 6. Para cualesquiera v1 , v2 en V, T (v1 ) = T (v2 ) implica que v1 = v2 . Prueba: La prueba se har´ circularmente. a 1. 1 implica 2. Si T es biyectiva, es entonces inyectiva, por lo tanto NT = {0}. 2. 2 implica 3. Si NT = {0}, entonces ν(T ) = dim(NT ) = 0.3. 3 implica 4. Si ν(T ) = 0. entonces, de la ecuaci´n ν(T ) + ρ(T ) = dimV, se tiene que ρ(T ) = dimV o 4. 4 implica 5. Puesto que {v1 , v2 , . . . , vn } es una base, entonces {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} genera el rango de T . Sin embargo, ρ(T ) = dimV, entonces {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} debe ser linealmente independiente y por lo tanto una base. 5. 5 implica 6. Suponga,...