Tipos de conjuntos

Unidad 3
Matemáticas Para Computadoras

TEMA
CONJUNTOS

Alumno: José Manuel Bautista Santiago.

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales.

Oaxaca de Juárez, Oax. A 4 de noviembre del 2010
1.- CONJUNTOS.
1.1.- DEFINICIÓN Y TIPOS DE CONJUNTOS.
1.1.1.- Un conjunto es la reunión en un todo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables los unosde los otros.
El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matemáticas modernas. La mayoría de los matemáticos creen que es posible expresar todas las matemáticas en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Nuestro interés en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matemáticas como a su utilidad en la modelización e investigación de problemas en la informática.Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor
Después de que la teoría de conjuntos se estableciera como un área bien definida de las matemáticas, aparecieron contradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, s e des arrollaron aproximaciones más sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teoría de conjuntos s eocupa, generalmente, de la teoría elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor. Utilizaremos esta aproximación más simple y desarrollaremos una teoría de conjuntos de la cual es posible
Georg Cantor. Matemático alemán de origen ruso (San Petes burgo 1845 -Halle 1 918). Después de estudia r en Alemania, fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribió numerosasmemorias, pero es especialmente conocido por ser el creador de la Teoría de los conjuntos
Conjuntos y Elementos
Intuitivamente, un con junto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad. A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.
A los conjuntos los designaremos con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. La afirmación “elelemento a pertenecer al conjunto A” se escribe
a ∈ A
y la negación de este hecho, ¬(a ∈ A), se escribe
a /∈ A
La definición de un conjunto no debe ser ambigua en e l sentido de que pueda decidirse cuando un objeto particular pertenece, o no, aun conjunto.
1.1.2.- TIPOS DE CONJUNTOS.
1.1.2.1 Conjunto Universal
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos losconjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U.
1.1.2.2 Conjunto Vacío
Al conjunto único que no contiene elementos, lo llamaremos conjunto vacío. Lo notaremos con el símbolo Ø que proviene del alfabeto noruego.
1.1.2.2a Axioma de Extensión
Dos conjuntos A y B son iguales si, y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, cadaelemento del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.
Su expresión formal en notación lógica es:
A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B ) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
o bien, A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B )
Nota.- El axioma de extensión asegura que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, ambos son iguales, independientemente de cómo estén definidos.

1.2 PROPIEDADES DE LOSCONJUNTOS
*
*
* Asociativa:
*
*
* Conmutativa:
*
*
* Distributiva:
*
*
* Identidad:
*
*
* Complementariedad:
*
*
*
*
* Involutiva:
*
* Ley de Morgan:
*
*
* Para cualquier conjunto A y B
*

1.3 OPERACIONES CON LOS CONJUNTOSINTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.
En la teoría de conjuntos, la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de conjuntos A yB de U sele asocia otro conjunto:  de U.

Si A y B son dos de ellos entonces su...