tipos de escritura del rap

Métodos numéricos: métodos de un paso
El método de Euler
El error:consistencia y orden
Error local y error global

E. de Ingenierías Industriales

2012-13

Métodos Matemáticos I
Jesús Rojo

02. Ecuaciones escalares: el método de Euler

Métodos numéricos: métodos de un paso
El método de Euler
El error:consistencia y orden
Error local y error global

02. Ecuaciones escalares:el método de Euler

02. Ecuaciones escalares: el método de Euler

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El método de Euler
El error:consistencia y orden
Error local y error global

1 Métodos numéricos: métodos de un paso

2 El método de Euler

3 El error:consistencia y orden

4 Error local y error global

02. Ecuaciones escalares: el método de Euler

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El método de Euler
El error:consistencia y orden
Error local y error global

Métodos numéricos: métodos de un paso
Consideremos lo que hemos llamado un problema tipo o problema
usual, consistente en una ecuación diferencial de primer orden en la
forma normal, que ahora será una ecuación escalar, y una condición
inicial
y = f (x, y ) , y (a) = η ,
donde por lo tanto, lafunción f es
f : [a, b] × IR → IR ,
y en su dominio
D : x ∈ [a, b] ,

y ∈ (−∞, ∞) ,

es Lipschitziana respecto de la variable y , con constante de
Lipschitz L.
Ya sabemos que, en estas condiciones, en el intervalo [a, b] existe
una única solución y (x) del problema, que es la solución que
intentamos aproximar.
02. Ecuaciones escalares: el método de Euler

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El método de Euler
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Error local y error global

Un método numérico o, simplemente método, es una ecuación en
diferencias que hace intervenir como incógnitas valores
yn ∼ y (xn )
que se consideran aproximaciones de la solución y (x) en puntos
x0 , x1 , . . . , xN dados como
xn = a + n h ,

n = 0, . . . , N ,

con

b−a
b−a
o h=
,
h
N
dondeh es lo que se denomina paso del método y que en primera
instancia consideraremos fijo.
N=

02. Ecuaciones escalares: el método de Euler

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Si en la ecuación en diferencias intervienen yn e yn+1 , diremos que
el método es de 1 paso o de paso simple.
Si en la mismaintervienen yn , yn+1 , yn+2 . . ., diremos que el
método es de paso múltiple.
Dentro de los métodos de 1 paso, que son los que van a centrar
nuestra atención, nos interesaremos por los que tienen la forma
yn+1 = yn + h Φ(xn , yn , h)

que son básicamente aquellos en los que yn+1 se puede despejar en
función de los restantes elementos de la ecuación. De estos
métodos diremos que son explícitos,llamándose implícitos o no
explícitos los restantes.
02. Ecuaciones escalares: el método de Euler

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Supondremos, además, que las ecuaciones en diferencias son las
mismas para cada valor de n. De esa manera, el método se
describirá dando una cualquiera de las ecuaciones.Pasando a
aquellos de los que vamos a ocuparnos, el conocimiento de la
expresión
yn+1 = yn + h Φ(xn , yn , h)
para n genérico nos describirá el método de que se trate.
Lógicamente, un método como los anteriores no se puede resolver
salvo que tengamos alguna manera de conocer el valor de y0 , por
ejemplo. Ahora bien, condiciones como la inicial
y (a) = η ,
nos permiten añadir
y0 = η
yarrancar el método en diferencias.
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Digamos finalmente que un algoritmo es una secuencia de códigos
de ordenador que permite implementar el método.
Notemos que un método puede ser implementado por diferentes
algoritmos (lo que...