Tipos de matrices

Introducción

Las matrices constituyen una valiosa herramienta en el ámbito matemático-tecnológico, debido a que son base esencial a la hora del estudio del calculo numérico y el lenguaje de programación, siendo totalmente aplicables el uso de tablas numéricas organizadas tanto para el registro de datos de un computador como para el estudio básico del sistema de ecuaciones

Por consiguienteel siguiente trabajo tratara sobre algunos tipos de matrices, como son las matrices simétricas, antisimétrica, hermética, estocástica, triangulares, ortogonal, idempotente; entre otras.

1. ¿Que es un matriz nilpotente?
En álgebra lineal, una matriz se dice que es nilpotente si existe tal que
Teorema
Si es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero.
Demostración
Si A es unamatriz nilpotente de orden k,
Por lo tanto:
Luego: por lo que
Ejemplos
La matriz

Es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con 0s a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

Es nilpotente, con

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente nolo tiene. Por ejemplo, las matrices

Ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

2. ¿Que es una traza de una matriz?
En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.
Es decir,

Donde aij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columnaj-ésima de A.


3. Propiedades de la traza de una matriz.
Propiedades
• La traza es un operador lineal:


Siendo y matrices cuadradas, y un escalar.
• Como la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,

• Si es una matriz de y una matriz de , entonces

Para demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices A y B viene dado por

Con lo cual,podemos expresar la traza de AB como

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio

Notar que es una matriz cuadrada de , mientras que es una matriz cuadrada de
• Si es una matriz cuadrada de orden con auto valores reales o complejos (incluyendo multiplicidad): entonces:

Esto puede verse fácilmente teniendo en cuenta la correspondiente forma canónica de Jordan de laaplicación lineal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una matriz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz es la suma de los elementos de la diagonal de la forma de Jordán, es decir, la suma de autovalores.
4. ¿Que son matrices semejantes?
En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n-por-n sobre el cuerpo Kson semejantes si existe una matriz invertible P de n-por-n sobre K tal que:
P −1AP = B.
Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la matriz A en la matriz B.
DEFINICIÓN (Matrices semejantes)
Diremos que las matrices cuadradas A y B de orden n son SEMEJANTES si y sólo si existe una matriz no singular P (con determinante no nulo) tal que severifica que
B=P.A.P-1
O bien A=P-1.A.P
Según esto y con el ejemplo que hemos planteado obsérvese que P es la matriz de cambio de base de las bases canónicas a la nueva base y contiene los vectores de la base respecto de la cual f tiene por matriz asociada la matriz diagonal.
Obsérvese también que siempre la matriz P es no singular pues P contiene los vectores de la base dada.
EJERCICIO V-6a) Comprobar que las matrices

Son matrices semejantes, considerando como matriz de paso

b. Comprobar que la matriz A es semejante a la matriz diagonal

Considerando en este caso como matriz de paso a la matriz

A raíz de esta definición de semejanza podemos considerar la siguiente definición de MATRIZ DIAGONALIZABLE.
5. ¿Que es una matriz diagonizable?
En álgebra lineal una...