TIPS GEOMETRÍA ANLITICA

Tema II

TEMA II. Curvas en el plano polar
Objetivo:
El alumno obtendrá ecuaciones en forma polar de curvas en el plano y determinará las
características de éstas a partir de su ecuación en forma polar.
Contenido:
2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetría de puntos en coordenadas polares.
2.2 Transformación de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas.
2.3Ecuaciones polares de curvas. Cardioides, lemniscatas, rosas de n pétalos.
2.4 Análisis de una curva representada por una ecuación polar.

Sistema de coordenadas polares

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2.1. Sistema de coordenadas polares.
Sistema de coordenadas polares.
Definición:
Es un conjunto de circunferencias concéntricas a un punto O llamado polo y un conjunto de rectas
que parten de O y que determinanel ángulo que se forma a partir de la recta horizontal que parte
de O hacia la derecha, llamada eje polar.
Un punto en coordenadas polares, está definido por:
Una distancia (módulo, r) medida respecto al polo u origen.
Un ángulo (argumento, ) medido desde el eje polar.
Tal y como se muestra en la siguiente figura.

Nota 1: Los ángulos positivos se miden en sentido contrario a las manecillasdel reloj.
Nota 2: A diferencia del sistema de coordenadas cartesiano, un punto en coordenadas polares
puede ser representado por más de un par de valores de r, .
Por ejemplo:
P( r , ) = P( r , +2n ) ; con n = 1, 2, 3, 4, …..
P( r , ) = P( -r , + (2n-1) ) ; con n = 1, 2, 3, 4, …..

Sistema de coordenadas polares

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Simetría de puntos en coordenadas polares.
Para obtener elsimétrico de un punto cualquiera, respecto al eje polar, al eje a 90º, o al polo, es
necesario realizar lo que se establece a continuación.
Simetría respecto al
Eje polar
Eje a 90°
Polo

La ecuación original no se altera cuando…
a) se sustituye por
b) se sustituye
por
y r por -r
a) se sustituye
por
b) se sustituye por
y r por -r
a) se sustituye
por
b) se sustituye r por -rSimetría respecto al eje polar.
Gráficamente podemos observar que la simetría respecto al eje polar (0º), consiste en “reflejar” al
punto respecto a dicho eje.
El reflejo es vertical, por ejemplo, para un punto a 45º a una distancia “r” del polo, su simétrico
respecto al eje polar estará a la misma distancia “r” del polo, pero a 315º.
En general, para cualquier punto ubicado:
Entre 0º y 90º, susimétrico estará entre 360º y 270º.
Entre 90º y 180º, su simétrico estará entre 270º y 180º.
Entre 180º y 270º, su simétrico estará entre 180º y 90º.
Entre 270º y 360º, su simétrico estará entre 90º y 0º.
El punto simétrico deberá estar a la misma distancia “r”, indicada por el punto original.

Sistema de coordenadas polares

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Simetría respecto al eje a 90º.
Gráficamentepodemos observar que la simetría respecto al eje a 90º, consiste en reflejar
horizontalmente un punto. Por ejemplo, para un punto a 45º a una distancia “r” del polo, su
simétrico respecto al eje a 90º estará a la misma distancia “r” del polo, pero a 135º.
En general, para cualquier punto ubicado:
Entre 0º y 90º, su simétrico estará entre 90º y 180º.
Entre 90º y 180º, su simétrico estará entre90º y 0º.
Entre 180º y 270º, su simétrico estará entre 360º y 270º.
Entre 270º y 360º, su simétrico estará entre 270º y 180º.
El punto simétrico deberá estar a la misma distancia “r”, indicada por el punto original.

Simetría respecto al polo.
Gráficamente podemos observar que la simetría respecto al polo, consiste en reflejar en diagonal,
un punto. Por ejemplo, para un punto a 45º a unadistancia “r” del polo, su simétrico respecto al
polo estará a la misma distancia “r” del polo, pero a 225º.
En general, para cualquier punto ubicado:
Entre 0º y 90º, su simétrico estará entre 180º y 270º.
Entre 90º y 180º, su simétrico estará entre 270º y 360º.
Entre 180º y 270º, su simétrico estará entre 0º y 90º.
Entre 270º y 360º, su simétrico estará entre 90º y 180º.
El punto simétrico...